问题及解答

试建立

\[I_n=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^2(nt)}{\sin t}dt\]

的递推公式.

[Hint]

根据 问题1388的解答  ，我们有

\[
\frac{\sin^2(nt)}{\sin t}=\sum_{k=1}^{n}\sin(2k-1)t
\]

由提示,

\[
\begin{split}
I_n&=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^2(nt)}{\sin t}dt\\
&=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sum_{k=1}^{n}\sin(2k-1)t dt\\
&=\sum_{k=1}^{n}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin(2k-1)t dt\\
&=\sum_{k=1}^{n}\frac{-1}{2k-1}\cos(2k-1)t\biggr|_{0}^{\frac{\pi}{2}}\\
&=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2k-1},
\end{split}
\]
 

即

\[
I_n=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\cdots+\frac{1}{2n-1}.
\]