求下列微分方程 $y''+4y'+29y=0$ 的解.
求下列微分方程的解.
\[
\begin{cases}
\displaystyle\frac{d^2 y}{dx^2}+4\frac{dy}{dx}+29y=0,\\
y(0)=0,\quad y'(0)=15.
\end{cases}
\]
References:
《数学建模与数学实验》(第四版)P.130
求下列微分方程的解.
\[
\begin{cases}
\displaystyle\frac{d^2 y}{dx^2}+4\frac{dy}{dx}+29y=0,\\
y(0)=0,\quad y'(0)=15.
\end{cases}
\]
References:
《数学建模与数学实验》(第四版)P.130
1
其特征方程是
\[
\lambda^2+4\lambda+29=0.
\]
解得 $\lambda_{1,2}=-2\pm 5i$.
因此方程的通解为
\[
y(x)=e^{-2x}(C_1\cos 5x+C_2\sin 5x).
\]
由条件 $y(0)=0$ 和 $y'(0)=15$ 可以得到关于 $C_1$ 和 $C_2$ 的二元一次线性方程组,
事实上, 将 $y(0)=0$ 代入, 得
\[
0=e^{-2\cdot 0}(C_1\cos 0+C_2\sin 0)=C_1.
\]
因此 $y(x)=C_2 e^{-2x}\sin 5x$, 于是
\[
y'(x)=C_2(e^{-2x}(-2)\sin 5x+5e^{-2x}\cos 5x).
\]
将 $y'(0)=15$ 代入, 得 $C_2=3$. 因此微分方程的解为 $y(x)=3 e^{-2x}\sin 5x$.
2
使用MATLAB求解
>> y=dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x')
y =
3*sin(5*x)*exp(-2*x)
或者
>> syms y(x)
>> Dy=diff(y);
>> dsolve(diff(Dy)+4*Dy+29*y==0,y(0)==0,Dy(0)==15)
ans =
3*sin(5*x)*exp(-2*x)