Answer

问题及解答

已知 $a+b+c=a^2+b^2+c^2=2$, 证明 $a(1-a)^2=b(1-b)^2=c(1-c)^2$.

Posted by haifeng on 2018-09-27 00:05:13 last update 2018-09-27 00:12:58 | Edit | Answers (2)

已知 $a+b+c=a^2+b^2+c^2=2$, 证明 $a(1-a)^2=b(1-b)^2=c(1-c)^2$.

 

 


 

Remark: 题目有 David Chen 提供.

1

Posted by haifeng on 2018-09-27 00:15:08


 

\[
\begin{split}
&(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\\
\Longrightarrow &2^2=2+2(ab+bc+ca)\\
\Longrightarrow &ab+bc+ca=1
\end{split}
\]

于是

\[
\begin{split}
a(1-a)^2&=a(a^2-2a+1)\\
&=a[a^2-(a+b+c)a+ab+bc+ca]\\
&=abc
\end{split}
\]

类似的, 有

\[
\begin{split}
b(1-b)^2&=b(b^2-2b+1)\\
&=b[b^2-(a+b+c)b+ab+bc+ca]\\
&=bca=abc.
\end{split}
\]

 

\[
\begin{split}
c(1-c)^2&=c(c^2-2c+1)\\
&=c[c^2-(a+b+c)c+ab+bc+ca]\\
&=cab=abc.
\end{split}
\]

因此, $a(1-a)^2=b(1-b)^2=c(1-c)^2=abc$.

 


Remark:

使用纯代数的方法会非常简单. 不过没有太多启发性. 可以尝试使用几何的方法证明, 不过比较繁琐.

2

Posted by haifeng on 2018-10-01 10:19:16

考虑方程组

\[
\begin{cases}
x+y+z=2,\\
x^2+y^2+z^2=2.
\end{cases}
\]

这是法向向量为 $(1,1,1)$ 的平面 $\Sigma: x+y+z=2$ 截球面 $S^2(\sqrt{2}): x^2+y^2+z^2=2$ 的联立方程组. 最终所得是一个圆, 我们记之为 $C$.

设平面 $\Sigma$ 截 $x,y,z$ 轴分别得点 $A,B,C$. 它们的坐标分别为 $(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2)$.  圆 $C$ 实际上是正三角形 $ABC$ 的内切圆. 容易计算圆 $C$ 的半径为 $r=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.

 

通过计算原点到平面 $\Sigma$ 的距离算出:

\[
d=\frac{|0+0+0-2|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\frac{2}{\sqrt{3}}.
\]

可以推出圆 $C$ 的中心(记为 $O_1$) 的坐标是 $(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3})$.

因此, 圆 $C$ 上的点满足方程

\[
(x-\frac{2}{3})^2+(y-\frac{2}{3})^2+(z-\frac{2}{3})^2=\frac{2}{3}.
\]

因此, 可以令

\[
\begin{cases}
x-\frac{2}{3}=\sqrt{\frac{2}{3}}\cos\theta\cdot\cos\alpha,\\
y-\frac{2}{3}=\sqrt{\frac{2}{3}}\cos\theta\cdot\sin\alpha,\\
z-\frac{2}{3}=\sqrt{\frac{2}{3}}\sin\theta.\\
\end{cases}
\]

为方便运算, 我们记之为

\[
\begin{cases}
x-r^2=r\cos\theta\cdot\cos\alpha,\\
y-r^2=r\cos\theta\cdot\sin\alpha,\\
z-r^2=r\sin\theta.\\
\end{cases}
\]

$x,y,z$ 还满足方程 $x+y+z=2$, 由此可以得到参数 $\theta$ 和 $\alpha$ 之间的关系:

\[
2(1+\sin\alpha\cdot\cos\alpha)\cdot\cos^2\theta=1.\tag{*}
\]


事实上, 将 $x,y,z$ 的参数表达式代入方程 $x+y+z=2$, 得

\[
\begin{split}
& 3r^2+r(\cos\theta\cos\alpha+\cos\theta\sin\alpha+\sin\theta)=2\\
\Leftarrow& 3\cdot\frac{2}{3}+\sqrt{\frac{2}{3}}(\cos\theta\cos\alpha+\cos\theta\sin\alpha+\sin\theta)=2\\
\Leftarrow& \cos\theta\cos\alpha+\cos\theta\sin\alpha+\sin\theta=0\\
\Leftarrow& \cos\theta\cdot(\cos\alpha+\sin\alpha)+\sin\theta=0
\end{split}
\]

显然 $\cos\theta\neq 0$, 因此得 $\cos\alpha+\sin\alpha=-\tan\theta$, 这推出

\[
1+(\cos\alpha+\sin\alpha)^2=1+\tan^2\theta=\sec^2\theta=\frac{1}{\cos^2\theta},
\]

\[
2(1+\sin\alpha\cos\alpha)\cdot\cos^2\theta=1.
\]


经过运算,

\[
x(1-x)^2=\frac{2}{27}-\frac{1}{3}\sqrt{\frac{2}{3}}\cos\theta\cos\alpha+\frac{2}{3}\sqrt{\frac{2}{3}}\cos^3\theta\cos^3\alpha,
\]

\[
y(1-y)^2=\frac{2}{27}-\frac{1}{3}\sqrt{\frac{2}{3}}\cos\theta\sin\alpha+\frac{2}{3}\sqrt{\frac{2}{3}}\cos^3\theta\sin^3\alpha,
\]

\[
z(1-z)^2=\frac{2}{27}-\frac{1}{3}\sqrt{\frac{2}{3}}\sin\theta+\frac{2}{3}\sqrt{\frac{2}{3}}\sin^3\theta.
\]
 

 

于是

\[
\begin{split}
x(1-x)^2=y(1-y)^2&\Leftrightarrow -\cos\theta\cos\alpha+2\cos^3\theta\cos^3\alpha=-\cos\theta\sin\alpha+2\cos^3\theta\sin^3\alpha\\
&\Leftrightarrow \cos\theta(\sin\alpha-\cos\alpha)=2\cos^3\theta(\sin^3\alpha-\cos^3\alpha),
\end{split}
\]

由于 $\cos\theta\neq 0$, 因此等价于

\[
\begin{split}
\sin\alpha-\cos\alpha&=2\cos^2\theta(\sin\alpha-\cos\alpha)(\sin^2\alpha+\sin\alpha\cdot\cos\alpha+\cos^2\alpha)\\
&=2\cos^2\theta(\sin\alpha-\cos\alpha)(1+\sin\alpha\cdot\cos\alpha)
\end{split}
\]

由上面的 (*) 式, 可知成立.

 

类似的,

\[
\begin{split}
y(1-y)^2=z(1-z)^2&\Leftrightarrow -\cos\theta\sin\alpha+2\cos^3\theta\sin^3\alpha=-\sin\theta+2\sin^3\theta\\
&\Leftrightarrow-\cos^2\sin\alpha+2\cos^4\theta\sin^3\alpha=-\sin\theta\cos\theta+2\sin^3\theta\cos\theta\\
&\Leftrightarrow -\cos^2\theta\sin\alpha\cdot(1-2\cos^2\theta\sin^2\alpha)=-\sin\theta\cos\theta(1-2\sin^2\theta)\\
&\Leftrightarrow \cos^2\theta\sin\alpha\cdot(2\cos^2\theta\sin^2\alpha-1)=\sin\theta\cos\theta(2\sin^2\theta-1)\\
&\Leftrightarrow \frac{1}{2(1+\sin\alpha\cos\alpha)}\cdot\sin\alpha\cdot\Bigl(\frac{\sin^2\alpha}{1+\sin\alpha\cos\alpha}-1\Bigr)=\sin\theta\cos\theta(1-2\cos^2\theta)\\
&\Leftrightarrow \frac{\sin\alpha\cdot(\sin^2\alpha-\sin\alpha\cos\alpha-1)}{2(1+\sin\alpha\cos\alpha)^2}=\sin\theta\cos\theta\cdot\Bigl(1-\frac{1}{1+\sin\alpha\cos\alpha}\Bigr)\\
&\Leftrightarrow \frac{\sin\alpha\cdot(-\cos^2\alpha-\sin\alpha\cos\alpha)}{2(1+\sin\alpha\cos\alpha)^2}=\sin\theta\cos\theta\cdot\frac{\sin\alpha\cos\alpha}{1+\sin\alpha\cos\alpha}\\
&\Leftrightarrow \frac{-(\sin\alpha+\cos\alpha)}{2(1+\sin\alpha\cos\alpha)}=\sin\theta\cos\theta
\end{split}
\]

由于 $\sin\theta=-\cos\theta(\sin\alpha+\cos\alpha)$, 代入上式, 得

\[
\begin{split}
&\Leftrightarrow \frac{-(\sin\alpha+\cos\alpha)}{2(1+\sin\alpha\cos\alpha)}=-\cos\theta(\sin\alpha+\cos\alpha)\cdot\cos\theta\\
&\Leftrightarrow \frac{1}{2(1+\sin\alpha\cos\alpha)}=\cos^2\theta
\end{split}
\]

因此 $y(1-y)^2=z(1-z)^2$ 成立.

 


 

Remark:

最后附上上面关于 $x(1-x)^2, y(1-y)^2, z(1-z)^2$ 的计算.

\[
\begin{split}
x(1-x)^2&=(r^2+r\cos\theta\cos\alpha)(1-r^2-r\cos\theta\cos\alpha)^2\\
&=(r^2+r\cos\theta\cos\alpha)\Bigl[(1-r^2)^2-2r(1-r^2)\cos\theta\cos\alpha+r^2\cos^2\theta\cos^2\alpha\Bigr]\\
&=r^2(1-r^2)^2-2r^3(1-r^2)\cos\theta\cos\alpha+r^4\cos^2\theta\cos^2\alpha\\
&\quad+(1-r^2)^2\cdot r\cos\theta\cos\alpha-2r^2(1-r^2)\cos^2\theta\cos^2\alpha+r^3\cos^3\theta\cos^3\alpha\\
&=r^2(1-r^2)^2+\bigl[r(1-r^2)^2-2r^3(1-r^2)\bigr]\cos\theta\cos\alpha+(3r^4-2r^2)\cos^2\theta\cos^2\alpha+r^3\cos^3\theta\cos^3\alpha\\
&=\frac{2}{27}+(-\frac{1}{3})\sqrt{\frac{2}{3}}\cos\theta\cos\alpha+\frac{2}{3}\sqrt{\frac{2}{3}}\cos^3\theta\cos^3\alpha,
\end{split}
\]

 

\[
\begin{split}
y(1-y)^2&=(r^2+r\cos\theta\sin\alpha)(1-r^2-r\cos\theta\sin\alpha)^2\\
&=(r^2+r\cos\theta\sin\alpha)\Bigl[(1-r^2)^2-2r(1-r^2)\cos\theta\sin\alpha+r^2\cos^2\theta\sin^2\alpha\Bigr]\\
&=r^2(1-r^2)^2-2r^3(1-r^2)\cos\theta\sin\alpha+r^4\cos^2\theta\sin^2\alpha\\
&\quad+(1-r^2)^2\cdot r\cos\theta\sin\alpha-2r^2(1-r^2)\cos^2\theta\sin^2\alpha+r^3\cos^3\theta\sin^3\alpha\\
&=r^2(1-r^2)^2+\bigl[r(1-r^2)^2-2r^3(1-r^2)\bigr]\cos\theta\sin\alpha+(3r^4-2r^2)\cos^2\theta\sin^2\alpha+r^3\cos^3\theta\sin^3\alpha\\
&=\frac{2}{27}+(-\frac{1}{3})\sqrt{\frac{2}{3}}\cos\theta\sin\alpha+\frac{2}{3}\sqrt{\frac{2}{3}}\cos^3\theta\sin^3\alpha,
\end{split}
\]

 

 

\[
\begin{split}
z(1-z)^2&=(r^2+r\sin\theta)(1-r^2-r\sin\theta)^2\\
&=(r^2+r\sin\theta)\Bigl[(1-r^2)^2-2r(1-r^2)\sin\theta+r^2\sin^2\theta\Bigr]\\
&=r^2(1-r^2)^2-2r^3(1-r^2)\sin\theta+r^4\sin^2\theta\\
&\quad+(1-r^2)^2\cdot r\sin\theta-2r^2(1-r^2)\sin^2\theta+r^3\sin^3\theta\\
&=r^2(1-r^2)^2+\bigl[r(1-r^2)^2-2r^3(1-r^2)\bigr]\sin\theta+(3r^4-2r^2)\sin^2\theta+r^3\sin^3\theta\\
&=\frac{2}{27}+(-\frac{1}{3})\sqrt{\frac{2}{3}}\sin\theta+\frac{2}{3}\sqrt{\frac{2}{3}}\sin^3\theta,
\end{split}
\]