问题及解答

设 $D$ 是由直线 $y=x$, $y=\pi$ 和 $y$ 轴围城的三角形闭区域. 求定积分

\[
\iint_D\cos(x+y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y
\]
 

\[
\begin{split}
\text{原式}&=\int_0^{\pi}\int_0^y\cos(x+y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\
&=\int_0^{\pi}\sin(x+y)\biggr|_{x=0}^{x=y}\mathrm{d}y\\
&=\int_0^{\pi}(\sin(2y)-\sin y)\mathrm{d}y\\
&=-\frac{1}{2}\cos(2y)\biggr|_0^{\pi}+\cos y\biggr|_{0}^{\pi}\\
&=-2.
\end{split}
\]