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问题及解答

一维弹性碰撞问题

Posted by haifeng on 2019-10-18 17:41:25 last update 2019-10-18 23:35:22 | Edit | Answers (1)

一维弹性碰撞问题

qid2336_1.png

 

 

光滑水平面上有两个弹性小方块, $A$ 和 $B$. 左侧有堵墙. 这两个小方块的质量分别为 $m$, $M$, 单位: $\mathrm{kg}$. $A$ 的初速为0. $B$ 初速度为 $v$, 方向向左, 向 $A$ 撞去. (这里不考虑摩檫力, 小方块 $A$ 被墙反弹后, 能量不损失. 不考虑撞墙刹那的速度变化过程, 如果碰撞前速度为 $u$, 则碰撞后速度为 $-u$.)

如果 $m=M=1\mathrm{kg}$, 则小方块 $A$ 共碰撞 3 次.

如果 $m=1\mathrm{kg}$, $M=100\mathrm{kg}$, 则小方块 $A$ 共碰撞 31 次.

如果 $m=1\mathrm{kg}$, $M=10000\mathrm{kg}$, 则小方块 $A$ 共碰撞 314 次.

如果 $m=1\mathrm{kg}$, $M=1000000\mathrm{kg}$, 则小方块 $A$ 共碰撞 3141 次.

如果 $m=1\mathrm{kg}$, $M=100000000\mathrm{kg}$, 则小方块 $A$ 共碰撞 31415 次.

$\vdots$

我们看到碰撞次数与 $\pi=3.1415926\cdots$ 有关.

请问背后的原理是什么?

 


Remark:

小方块 $A$ 与 $B$ 和墙的碰撞都计算在内.

问题来源: 转发自 Q. X. Dong

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Posted by haifeng on 2019-10-19 00:23:11

设 $A$, $B$ 在某一次碰撞前的速度分别为 $u_i$, $v_i$; 碰撞后的速度分别为 $u_j$, $v_j$. (当然, 你可以写 $j=i+1$, 这里只起到区别的作用.)

由能量守恒定律(现在是动能守恒), 有

\[
\frac{1}{2}mu_i^2+\frac{1}{2}Mv_i^2=C.
\]

这里 $C$ 是常数. 于是可以改写为

\[
(\sqrt{m}u_i)^2+(\sqrt{M}v_i)^2=r^2.
\]

由于

\[
\frac{\sqrt{M}v_j-\sqrt{M}v_i}{\sqrt{m}u_j-\sqrt{m}u_i}=\frac{\sqrt{M}}{\sqrt{m}}\cdot\frac{v_j-v_i}{u_j-u_i}=\frac{\sqrt{M}}{\sqrt{m}}\cdot(-1)\frac{m}{M}=-\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{M}}.
\]

这里第二个等号是因为动量守恒 $mu_i+Mv_i=mu_j+Mv_j$.

令 $u'=\sqrt{m}u$, $v'=\sqrt{M}v$, 则得到下图.

qid2336_2.png

 

也即, 下一个点 $P_j=(\sqrt{m}u_j,\sqrt{M}v_j)$ 与上一个点 $P_i=(\sqrt{m}u_i,\sqrt{M}v_i)$ 的连线 $\overline{P_i P_j}$ 所在直线的斜率是一个定值, 记为 $k$. 即有

\[k=-\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{M}}\]

要使 $A$ 和 $B$ 不再碰撞, 只需 $0 < u_j < v_j$, 即 $\frac{v_j}{u_j} > 1$. 而这等价于

\[
\frac{\sqrt{M}v_j}{\sqrt{m}u_j}>\frac{\sqrt{M}}{\sqrt{m}}=-\frac{1}{k}.
\]

设直线 $L$ 为过原点且与 $\overline{P_i P_j}$ 垂直的直线, $\angle(L, y\text{轴})=\alpha$. 则 $\tan\alpha=\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{M}}$.

于是求小方块 $A$ 的碰撞总次数 $N$ 归结为求圆周中共有多少个圆弧 $\labvel{P_i P_j}$. 注意到这些圆弧 $\labvel{P_i P_{i+1}}$, $\labvel{P'_i P'_{i+1}}$ 都是相同的, 因为它们所对的圆周角都是 $\alpha$. 因此,

\[
N=\Bigl[\frac{2\pi}{2\alpha}\Bigr]-1=\Bigl[\frac{\pi}{\alpha}\Bigr]-1.
\]

 

例如: 当 $m=1$, $M=1$ 时, $\alpha=\frac{\pi}{4}$, $N=\bigl[\frac{\pi}{\pi/4}\bigr]-1=3$.

当 $m=1$, $M=100$ 时, $\tan\alpha=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{100}}=0.1$, $\alpha=\arctan 0.1\approx 0.0996686525$, $N=\bigl[\frac{\pi}{0.0996686525}\bigr]-1=31$.