问题及解答

[思路] 考虑 $[0,1]$ 之间的所有有理数, 构成集合 $Q_1=\mathbb{Q}\cap[0,1]$. 则 $f(Q_1)$ 可数. 记 $T=[0,1]-\mathbb{Q}$. 要证 $f(T)$ 是可数集. 用反证法证明 $f$ 在 [0,1] 上是局部常值的. 测度上 $m(T)=m([0,1])$, 更有不存在 $\{\varepsilon_t>0\mid t\in T\}$, 使得 $\cup_{t\in T}B(t,\varepsilon_t)\subsetneq [0,1]$. 不妨设 $f$ 在这些 $B(t,\varepsilon_t)$ 上是常值的, 而对于 $Q_1$ 中的每个有理数 $r_k$, 它们都在某个 $B(t,\varepsilon_t)$ 中, 故 $[0,1]$ 分成至多可数个互不相交的区间, $f$ 在这些区间上是常值的, 并且它们的测度之和等于1, 从而间断点至多也是可数个. 这就证明了 $f(T)$ 可数.