问题及解答

证明: $9|(n^3+(n+1)^3+(n+2)^3)$.

\[
\begin{split}
&n^3+(n+1)^3+(n+2)^3\\
=&n^3+(n^3+3n^2+3n+1)+(n^3+3n^2\cdot 2+3n\cdot 2^2+2^3)\\
=&3n^3+9n^2+15n+9
\end{split}
\]

因此, 只需证明 $9|(3n^3+15n)$, 进而只需证明 $3|n(n^2+5)$.

若 $n=3k$, 显然成立.

若 $n=3k+1$, 则 $n\equiv 1\pmod 3$, 于是 $n^2+5\equiv 6\pmod 3$. 因此 $3|n(n^2+5)$.

若 $n=3k+2$, 则 $n\equiv 2\pmod 3$, 于是 $n^2+5\equiv 9\pmod 3$. 因此 $3|n(n^2+5)$.

总之 $3|n(n^2+5)$ 成立. 故原命题成立.