问题及解答

证明: $30|(6n^5+15n^4+10n^3-n)$.

\[
6n^5+15n^4+10n^3-n=n(6n^4+15n^3+10n^2-1)
\]

我们逐个证明上式可以被 2, 3, 5 整除, 从而可以被 30 整除.

(1) 可以被 2 整除.

若 $n=2k$, 显然. 设 $n=2k+1$, 即 $n\equiv 1\pmod 2$. 则 $n^k\equiv 1\pmod 2$. 于是

\[
6n^4+15n^3+10n^2-1\equiv 6+15+10-1=30\equiv 0\pmod 2.
\]

(2) 可以被 3 整除.

若 $n=3k$, 则显然.

若 $n=3k+1$, 即 $n\equiv 1\pmod 3$, 则 $10n^2-1\equiv 10-1=9\equiv 0\pmod 3$.

若 $n=3k+2$, 即 $n\equiv 2\pmod 3$, 则 $10n^2-1\equiv 10\cdot 2^2-1=39\equiv 0\pmod 3$.

从而总有 $3|n(6n^4+15n^3+10n^2-1)$.

(3) 可以被 5 整除.

要证 $5|n(6n^4+15n^3+10n^2-1)$, 等价于要证 $5|n(6n^4-1)$. 或等价于证明 $5|n(n^4-1)$

注意 $n(n^4-1)=n(n-1)(n+1)(n^2+1)$.

若 $n=5k$, 则显然成立.

若 $n=5k+1$, 即 $n\equiv 1\pmod 5$, 则 $(n-1)\equiv 0\pmod 5$.

若 $n=5k+2$, 即 $n\equiv 2\pmod 5$, 则 $(n^2+1)\equiv 5\equiv 0\pmod 5$.

若 $n=5k+3$, 即 $n\equiv 3\pmod 5$, 则 $(n^2+1)\equiv 10\equiv 0\pmod 5$.

若 $n=5k+4$, 即 $n\equiv 1\pmod 5$, 则 $(n+1)\equiv 0\pmod 5$.