问题及解答

已知方程 $\frac{1}{\ln(1+x)}-\frac{1}{x}=k$ 在区间 $(0,1)$ 中有实根, 确定常数 $k$ 取值范围.

[hint]

本题实际上就是要确定函数 $f(x)=\frac{1}{\ln(1+x)}-\frac{1}{x}$ 在区间 $(0,1)$ 上的最大最小值.

记 $f(x)=\frac{1}{\ln(1+x)}-\frac{1}{x}$, 其定义域为 $(-1,0)\cup(0,+\infty)$.

\[
\begin{split}
\lim_{x\rightarrow 0}f(x)&=\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{1}{\ln(1+x)}-\frac{1}{x})\\
&=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x-\ln(1+x)}{x\ln(1+x)}\\
&=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x-\ln(1+x)}{x^2}\\
&=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\frac{1}{1+x}}{2x}\\
&=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{2x(1+x)}\\
&=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{2(1+x)}\\
&=\frac{1}{2}.
\end{split}
\]

因此, 可以补充定义 $f(0)=\frac{1}{2}$, 使函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续.

\[
f(1)=\frac{1}{\ln 2}-\frac{1}{1}=\frac{1-\ln 2}{\ln 2}.
\]

容易验证 $\frac{1}{2} > \frac{1-\ln 2}{\ln 2}$, 事实上

\[
\frac{1}{2} > \frac{1-\ln 2}{\ln 2}\Leftrightarrow 2(1-\ln 2)< \ln 2\Leftrightarrow 2 < 3\ln 2 \Leftrightarrow e^2 <8
\]

而 $e^2 < 2.8^2=7.84 < 8$.

下面我们证明函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上递减.

Claim. $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上严格单调递减.

Pf.  求 $f(x)$ 的导数.

\[
f'(x)=-\frac{1}{\ln^2(1+x)}\cdot\frac{1}{1+x}\cdot 1+\frac{1}{x^2}=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{(1+x)\ln^2(1+x)}.
\]

因此在 $(0,1)$ 上 $f'(x) < 0$ 当且仅当 $x^2 > (1+x)\ln^2(1+x)$.

令 $\varphi(x)=\sqrt{1+x}\ln(1+x)-x$, 这里 $x\in(0,1)$.

则 $\varphi(0)=0$, $\varphi(1)=\sqrt{2}\ln 2-1$. 注意 $\sqrt{2}\ln 2 < 1$, 因为 $\ln 2< 0.69315$.

\[
\varphi'(x)=\frac{1}{2\sqrt{1+x}}\ln(1+x)+\sqrt{1+x}\cdot\frac{1}{1+x}-1=\frac{\ln(1+x)+2}{2\sqrt{1+x}}-1
\]

$\varphi'(x) > 0$ 当且仅当 $\ln(1+x)+2>2\sqrt{1+x}$. 因此设 $\Phi(x):=2(\sqrt{1+x}-1)-\ln(1+x)$. 于是

\[
\Phi'(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x}}-\frac{1}{1+x}=\frac{\sqrt{1+x}-1}{1+x} > 0,\quad\forall x\in(0,1)
\]

这说明 $\varphi'(x) < 0$, $\forall x\in(0,1)$. 也就是说, $\varphi(x)$ 在 $(0,1)$ 上是严格单调递减的.

而 $\varphi(0)=0$, 因此 $\varphi(x) < 0$, $\forall x\in(0,1)$. 这说明 $x^2 > (1+x)\ln^2(1+x)$ 在区间 $(0,1)$ 上成立. 故 $f'(x) < 0$, $x\in(0,1)$.

Q.E.D.

最后, 既然函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上是严格单调递减的, 故 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上的取值范围为 $[f(1),f(0)]$. 从而 $k$ 的取值范围为:

\[
\frac{1-\ln 2}{\ln 2} < k <\frac{1}{2}.
\]
 

记 $F(x)=\frac{1}{\ln(1+x)}-\frac{1}{x}$, 这里 $x\in(0,1)$. 令 $t=1+x$, 则 $t\in(1,2)$.

记 $\varphi(t)=\frac{1}{\ln t}-\frac{1}{t-1}$. 于是

\[
\varphi'(t)=\frac{1}{(t-1)^2}-\frac{1}{t\ln^2 t}=\frac{t\ln^2 t-(t-1)^2}{t(t-1)^2\ln^2 t}.
\]

Claim. $\varphi'(t) < 0$, 对于 $t\in(1,2)$.

Pf.

\[
\varphi'(t) < 0\ \Leftrightarrow\ t\ln^2 t < (t-1)^2
\]

由于 $t\in(1,2)$, 故等价于 $\ln t < \frac{t-1}{\sqrt{t}}$.

令 $\psi(t)=\frac{t-1}{\sqrt{t}}-\ln t=\sqrt{t}-\frac{1}{\sqrt{t}}-\ln t$. 则

\[
\psi'(t)=\frac{1}{2\sqrt{t}}+\frac{1}{t}\cdot\frac{1}{2\sqrt{t}}-\frac{1}{t}.
\]

因此, $\psi'(t) > 0$. 事实上,

\[
\psi'(t)=\frac{1}{2\sqrt{t}}(1+\frac{1}{t}-\frac{2}{\sqrt{t}})=\frac{1}{2\sqrt{t}}(1-\frac{1}{\sqrt{t}})^2 > 0.
\]

注意到 $\psi(1)=0$, 故 $\psi(t) > 0$, 对于 $t\in(1,2)$. 因此 $\varphi'(t) < 0$ 对于 $t\in(1,2)$ 成立.  End of proof of Claim.

这说明 $\varphi(t)=\frac{1}{\ln t}-\frac{1}{t-1}$ 在 $(1,2)$ 上是严格单调递减的.

\[
\begin{split}
\lim_{t\rightarrow 1^+}\varphi(t)&=\lim_{t\rightarrow 1^+}(\frac{1}{\ln t}-\frac{1}{t-1})\\
&=\lim_{t\rightarrow 1^+}\frac{t-1-\ln t}{(t-1)\ln t}\\
&=\lim_{t\rightarrow 1^+}\frac{t-1-\ln t}{(t-1)^2}\\
&=\lim_{t\rightarrow 1^+}\frac{1-\frac{1}{t}}{2(t-1)}\\
&=\lim_{t\rightarrow 1^+}\frac{1}{2t}\\
&=\frac{1}{2}
\end{split}
\]

$\varphi(2)=\frac{1}{\ln 2}-\frac{1}{2-1}=\frac{1}{\ln 2}-1$. 因此

\[\varphi(t)\in(\frac{1}{\ln 2}-1,\frac{1}{2}).\]

这也就是 $k$ 的取值范围.