用初等方法证明以下恒等式
\[
\begin{split}
&(1+2x+2x^4+\cdots)^6\\
=&1+16\biggl(\frac{1^2 x}{1+x^2}+\frac{2^2 x^2}{1+x^4}+\frac{3^2 x^3}{1+x^6}+\cdots\biggr)-4\biggl(\frac{1^2 x}{1-x}-\frac{3^2 x^3}{1-x^3}+\frac{5^2 x^5}{1-x^5}-\cdots\biggr)
\end{split}
\]
\[
(1+2x+2x^4+\cdots)^8=1+16\biggl(\frac{1^3 x}{1+x}+\frac{2^3 x^2}{1-x^2}+\frac{3^3 x^3}{1+x^3}+\cdots\biggr)
\]
References:
哈代数论(第6版)20.13 用多个平方和表示数
G. H. Hardy, E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers.