问题及解答

在 $20\times 5$ 的格子上, 有90个白棋, 10个黑棋. 任意放在每个格子中. 求

Q1. 存在一行有3个以上黑棋的概率.

Q2. 存在两行有3个以上黑棋的概率.

Q3. 存在三行有3个以上黑棋的概率.

Remark:

题目来源: David Chen(陈)

白棋用 0 表示, 黑棋用 1 表示, 这样 $20\times 5$ 的格子本放完这100个棋子后, 对应一个 $20\times 5$ 的 0-1 矩阵.

于是样本空间为

\[
\mathcal{S}=\{A\mid A=(a_{ij})_{20\times 5}, \text{其中} a_{ij}=0,1 \text{且} \sum_{i,j}a_{ij}=10\}
\]

对于矩阵 $A\in S$, 记 $d_i=\sum_{j=1}^5a_{ij}$, 即矩阵 $A$ 的第 $i$ 行和.

记

\[
\mathcal{D}_1=\{A\in S\mid A=(a_{ij})_{20\times 5}, \exists i_0, \text{s.t.}\ d_{i_0}\geqslant 3\}
\]

\[
\mathcal{D}_2=\{A\in S\mid A=(a_{ij})_{20\times 5}, \exists i_1, i_2 \text{s.t.}\ d_{i_1}\geqslant 3, d_{i_2}\geqslant 3\}
\]

\[
\mathcal{D}_3=\{A\in S\mid A=(a_{ij})_{20\times 5}, \exists i_1, i_2, i_3, \text{s.t.}\ d_{i_k}\geqslant 3, \text{for}\ k=1,2,3.\}
\]

显然有 $\mathcal{D}_3\subset\mathcal{D}_2\subset\mathcal{D}_1$.

$\# S=C_{100}^{10}=17310309456440$