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问题及解答

计算 $\int_0^{\infty}\cos x^2\mathrm{d}x$ 及 $\int_0^{\infty}\sin x^2\mathrm{d}x$.

Posted by haifeng on 2020-11-01 10:11:58 last update 2020-11-01 10:23:57 | Edit | Answers (0)

计算 $\int_0^{\infty}\cos x^2 \mathrm{d}x$ 及 $\int_0^{\infty}\sin x^2 \mathrm{d}x$.

 

 

[Hint]

复分析的办法是, 将实变量 $x$ 改为 复变量 $z$. 由所给实函数 $\cos x^2$ 及 $\sin x^2$ 考虑到使用复变函数 $f(z)=\cos z^2+i\sin z^2=e^{iz^2}$.

关键的一步是如何选择复平面中合适的积分区域 $D$.

所求积分区间为 $[0,\infty)$, 且 $0$ 并不是 $f(z)=e^{iz}$ 的极点, 因此 $D$ 的某部分边界应选为 $x$ 轴上的 $[0,R]$.

而且为了积分方便, 通常 $\partial D$ 的部分选择为直线或以原点为中心的圆弧.

 

Q. 能否不用复分析的办法来计算?

 

References:

龚昇  《简明复分析》 P.104 例3