问题及解答

设 $p,q,r,s$ 是四个次数至多为 3 的多项式. 下面两条件中哪个能推出此四个多项式是线性相关的?

1.  每个多项式在 1 处取值 0.
2.  每个多项式在 0 处取值 1.

References:

Sp99  P.123

设这四个多项式为

\[
\begin{aligned}
p(x)&=a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3\\
q(x)&=b_0+b_1 x+b_2 x^2+b_3 x^3\\
r(x)&=c_0+c_1 x+c_2 x^2+c_3 x^3\\
s(x)&=d_0+d_1 x+d_2 x^2+d_3 x^3\\
\end{aligned}
\]

若每个多项式在 1 处取值 0, 则

\[
\begin{cases}
a_0+a_1+a_2+a_3=1\\
b_0+b_1+b_2+b_3=1\\
c_0+c_1+c_2+c_3=1\\
d_0+d_1+d_2+d_3=1\\
\end{cases}
\]

即方程组

\[
\begin{pmatrix}
a_0 & a_1 & a_2 & a_3\\
​b_0 & b_1 & b_2 & b_3\\
​c_0 & c_1 & c_2 & c_3\\
​d_0 & d_1 & d_2 & d_3\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3\\
x_4\\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
0\\
0\\
\end{pmatrix}
\]

有非零解

\[
\begin{pmatrix}
1\\
1\\
1\\
1\\
\end{pmatrix}
\]

故该方程组的系数矩阵
\[
\begin{pmatrix}
a_0 & a_1 & a_2 & a_3\\
​b_0 & b_1 & b_2 & b_3\\
​c_0 & c_1 & c_2 & c_3\\
​d_0 & d_1 & d_2 & d_3\\
\end{pmatrix}
\]

的秩小于等于 3. 因此, 这四个多项式 $p,q,r,s$ 线性相关.