问题及解答

对每个复数 $z$, $\exp(z)$ 定义为

\[\exp(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}\]

证明:

(1) 此级数对每个 $z\in\mathbb{C}$ 绝对收敛.

(2) 对复平面的每个有界子集一致收敛.

由绝对收敛指出下面(复数)级数的乘积

\[
\begin{split}
(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^k}{k!})\cdot(\sum_{m=0}^{\infty}\frac{w^m}{m!})&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^{n}\frac{n!}{k!(n-k)!}z^k w^{n-k}\\
&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(z+w)^n}{n!}
\end{split}
\]

是正确的. 它给出了重要的加法公式

\[
\exp(z)\cdot\exp(w)=\exp(z+w),\quad\forall\ z,w\in\mathbb{C}.
\]

因此, 为了兼容实数时的习惯, 我们记 $e^z=\exp(z)$, 从而也有这种形式 $e^z e^w=e^{z+w}$.

显然 $e=\exp(1)$. $e^0=\exp(0)=1$.

下面的定理可以被认为是复变函数的基础.

定理. 

(a)  对每个复数 $z$, $e^z\neq 0$.

(b) $\exp'(z)=\exp(z)$.

(c)

参见 [1] 引言.

References:

[1] W. Rudin, 《实分析和复分析》

证明:

(1) 对于级数 $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{|z|^n}{n!}$, 这是实级数, 收敛半径 $R=+\infty$. 因此原级数绝对收敛.

(2) 设 $\Omega$ 是复平面中的一个有界子集, 不妨设 $\Omega\subset B(0,\rho)\subset\mathbb{C}$.  记 $S_n(z)=\sum\limits_{k=0}^{n}\dfrac{z^k}{k!}$. 则

\[
|S_n(z)-\exp(z)|=\Biggl|\sum_{k=n+1}^{\infty}\dfrac{z^k}{k!}\Biggr|\leqslant\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{|z|^k}{k!} < \sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{\rho^k}{k!}
\]

$\rho$ 是固定的值.  显然根据实级数的性质, $\forall\ \varepsilon > 0$, 存在 $N > 0$, 当 $n > N$ 时, 有

\[
\Biggl|\sum_{k=1}^{n}\frac{\rho^k}{k!}-e^k\Biggr|=\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{\rho^k}{k!} < \varepsilon
\]

因此, 原级数在任意有界子集上都是一致收敛的.