问题及解答

定理. 假设 $\mathfrak{M}$ 是 $X$ 内的 $\sigma$-代数, $Y$ 为拓扑空间, $f$ 映 $X$ 到 $Y$ 内:

• (a) 设 $\Omega=\{E\subset Y\mid f^{-1}(E)\in\mathfrak{M}\}$, 则 $\Omega$ 为 $Y$ 内的 $\sigma$-代数.
• (b) 如果 $f$ 可测且 $E$ 为 $Y$ 的 Borel 集, 则 $f^{-1}(E)\in\mathfrak{M}$.
• (c) 如果 $Y=[-\infty,\infty]$, 且对每一个实数 $\alpha$, $f^{-1}((\alpha,\infty])\in\mathfrak{M}$, 则 $f$ 可测.
• (d) 如果 $f$ 可测, $Z$ 为拓扑空间, $g:Y\rightarrow Z$ 为 Borel 映射, 且如果 $h=g\circ f$, 则 $h:X\rightarrow Z$ 可测.

注: (c) 常用来作为实值函数可测性的判别准则, 有的(大学)教材将 (c) 作为可测函数的定义.

见 [1] P.14  定理 1.12

References:

[1] W. Rudin, 实分析与复分析

(a) 的证明

Pf. (1) $f^{-1}(Y)=X\in\mathfrak{M}$, 故 $Y\in\Omega$.

(2) 若 $A\in\Omega$, 即 $A\subset Y$, 且 $f^{-1}(A)\in\mathfrak{M}$. 由

\[
f^{-1}(Y-A)=X-f^{-1}(A)\in\mathfrak{M}
\]

推出 $A^c=Y-A\in\Omega$. 可见, $f^{-1}$ 对于补运算是保持的.

(3) $f^{-1}$ 保持可列并运算.

若 $A_1,A_2,\ldots,A_n,\ldots,\in\Omega$, 由

\[
f^{-1}(A_1\cup A_2\cup\cdots)=f^{-1}(A_1)\cup f^{-1}(A_2)\cup\cdots
\]

(或写为 $f^{-1}(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i)=\bigcup_{i=1}^{\infty}f^{-1}(A_i)$) 可得 $\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\in\Omega$.

因此, $\Omega$ 是 $Y$ 内的 $\sigma$-代数.

(b)  设 $\Omega$ 为 (a) 中所定义,  $\Omega:=\{E\subset Y\mid f^{-1}(E)\in\mathfrak{M}\}$.

由于 $f:X\rightarrow Y$ 是可测函数, 即 $Y$ 中任意开集的原像都是 $X$ 中的可测集. 而 $\Omega$ 的定义, $\tau_Y\subset\Omega$. 又 (a) 已经证明 $\Omega$ 是 $Y$ 中的 $\sigma$-代数, 故包含 $Y$ 中所有的 Borel 集. 因此, 若 $E$ 是 $Y$ 的 Borel 集, 则 $f^{-1}(E)\in\mathfrak{M}$.

(c)