问题

定理. 假设 $\mathfrak{M}$ 是 $X$ 内的 $\sigma$-代数, $Y$ 为拓扑空间, $f$ 映 $X$ 到 $Y$ 内:

• (a) 设 $\mathrm{\Omega }=\{E\subset Y\mid f^{-1}(E)\in \mathfrak{M}\}$, 则 $\mathrm{\Omega }$ 为 $Y$ 内的 $\sigma$-代数.
• (b) 如果 $f$ 可测且 $E$ 为 $Y$ 的 Borel 集, 则 $f^{-1}(E)\in \mathfrak{M}$.
• (c) 如果 $Y=[-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$, 且对每一个实数 $\alpha$, $f^{-1}((\alpha ,\mathrm{\infty }])\in \mathfrak{M}$, 则 $f$ 可测.
• (d) 如果 $f$ 可测, $Z$ 为拓扑空间, $g:Y\to Z$ 为 Borel 映射, 且如果 $h=g\circ f$, 则 $h:X\to Z$ 可测.

注: (c) 常用来作为实值函数可测性的判别准则, 有的(大学)教材将 (c) 作为可测函数的定义.

见 [1] P.14  定理 1.12

References:

[1] W. Rudin, 实分析与复分析