Questions in category: 实分析 (Real Analysis)
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1. Egoroff 定理(теоремы Егорова)

Posted by haifeng on 2021-07-02 23:32:51 last update 2021-07-03 10:38:23 | Answers (0) | 收藏


Egoroff 定理 (теоремы Егорова)(叶果若夫定理/葉戈羅夫定理)

Thm. 若 $\mu(X) < \infty$, $\{f_n\}$ 是一个复的可测函数序列, 它在 $X$ 的每一点上点态收敛, 并且如果 $\varepsilon > 0$, 则存在一个可测集 $E\subset X$, 具有 $\mu(X-E) < \varepsilon$, 使得 $\{f_n\}$ 在 $E$ 上一致收敛.

 

注: 这个结论是说通过在测度任意小的集上重新定义 $f_n$, 我们能使点态收敛的序列转化为一致收敛序列; 注意与 Lusin 定理的类似性.

 

[Hint] 令

\[
S(n,k)=\bigcap_{i,j > n}\{x : |f_i(x)-f_j(x)| < \frac{1}{k}\}
\]

证明当 $n\rightarrow\infty$ 时, 对每一个 $k$, $\mu(S(n,k))\rightarrow\mu(X)$, 因此存在一个适当的递增的序列 $\{n_k\}$ 使得 $E=\cap_{k=1}^{\infty}S(n_k,k)$ 具有所要求的性质.

证明定理不能扩张到 $\sigma$-有限的空间 (即可列个有限测度的 $U_i$ 的并).

证明定理不能(用同一证法)扩张到用函数族 $\{f_t\}$ 代替序列 $\{f_n\}$ 时的情况, 这里 $t$ 在正实数内变化, 并且这个假定是: 对每一个 $x\in X$, 当 $t\rightarrow\infty$ 时, $f_t(x)\rightarrow f(x)$.


 

这里引入 $E_{\delta}$ 集的概念, 所谓的 $E_{\delta}$ 集, 指与 $X$ 在测度上相差很小的集, 即满足 $\mu(X-E_{\delta}) < \delta$.

定义(一致收敛).  $\forall\varepsilon > 0$, $\exists\ \delta > 0$, 在 $E_{\delta}$ 集上有

\[
|f_n-f| < \varepsilon.
\]

 

 

参考自 [1] P.84, 习题16.


References:

[1] W. Rudin, 《实分析和复分析》

2. [Exer] 是否存在一个仅具有可数个元素的无限 $\sigma$-代数?

Posted by haifeng on 2021-07-02 17:52:54 last update 2021-07-02 17:58:24 | Answers (0) | 收藏


是否存在一个仅具有可数个元素的无限 $\sigma$-代数?

 

[分析]

设 $\mathfrak{M}$ 是集合 $X$ 上的 $\sigma$-代数, 显然 $\mathfrak{M}\subset\mathscr{P}(X)$. (这里 $\mathscr{P}(X)$ 指 $X$ 的幂集, 有时也记作 $2^X$.)

这里要找这样一个可测空间 $(X,\mathfrak{M})$, 其中 $\mathfrak{M}$ 是可数无限集.

 

参考自 [1] 第一章习题 1.


References:

[1] W. Rudin, 《实分析和复分析》

3. Lebesgue 可积函数的性质

Posted by haifeng on 2021-07-02 11:16:16 last update 2021-07-02 17:20:49 | Answers (1) | 收藏


设 $f\in L^{1}(\mu)$, ($L^{1}(\mu)$ 中的元素被称为 Lebesgue 可积函数或 Lebesgue 可求和函数).

若 $f=u+iv$, 这里 $u$ 和 $v$ 是 $X$ 上的实可测函数. 对每个可测集 $E$, 定义

\[
\int_E f\mathrm{d}\mu=\Bigl(\int_E u^{+}\mathrm{d}\mu-\int_E u^{-}\mathrm{d}\mu\Bigr)+i\Bigl(\int_E v^{+}\mathrm{d}\mu-\int_E v^{-}\mathrm{d}\mu\Bigr).
\]


设 $f\in L^{1}(\mu)$, 则 $f$ 具有黎曼积分的一些类似性质.

\[
\Biggl|\int_X f\mathrm{d}\mu\Biggr|\leqslant\int_X |f|\mathrm{d}\mu.
\]

等号成立当且仅当存在常数 $\alpha$, 使得 $\alpha f=|f|$ a.e. 于 $X$ 上.

 

 

参考自 [1] P. 30.


References:

[1] W. Rudin, 《实分析和复分析》

4. Lebesgue 控制收敛定理

Posted by haifeng on 2021-07-02 10:26:25 last update 2021-07-02 10:34:01 | Answers (1) | 收藏


Lebesgue 控制收敛定理 讲的是如果 $(X,\mathfrak{M},\mu)$ 上复可测函数列 $\{f_n\}$ 逐点收敛到某函数 $f$, 且诸 $\{f_n\}$ 被某个 $L^1$ $\mu$-可积的函数 $g$ 控制(指 $|f_n(x)|\leqslant g(x)$, $\forall\ n$, $\forall\ x\in X$), 则 $f$ 在 $X$ 上也是 $L^1$ $\mu$-可积的, 并且它与 $f_n$ 在 $X$ 上相差很小, 差值的模的积分趋于零. 且 $f_n$ 在 $X$ 上的 Lebesgue 积分收敛且趋于 $f$ 在 $X$ 上的 Lebesgue 积分.

 

使用数学语言, 即

Thm. 假定 $\{f_n\}$ 是 $X$ 上的复可测函数列, 使得

\[f(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x),\qquad x\in X.\]

若存在一个函数 $g\in L^{1}(\mu)$ 使得

\[
|f_n(x)|\leqslant g(x),\qquad(n=1,2,3,\ldots;\ x\in X)
\]

$f\in L^{1}(\mu)$,

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\int_X |f_n-f|\mathrm{d}\mu=0,
\]

并且

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\int_X f_n\mathrm{d}\mu=\int_X f\mathrm{d}\mu.
\]

 


注意

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\int_X |f_n-f|\mathrm{d}\mu=0\quad+\quad f\in L^{1}(\mu)\quad\text{可推出}\quad\lim_{n\rightarrow\infty}\int_X f_n\mathrm{d}\mu=\int_X f\mathrm{d}\mu.
\]

 

 

 


参考 [1] P. 31.


References:

[1] W. Rudin, 《实分析和复分析》

5. 可测函数的例子

Posted by haifeng on 2021-07-02 09:32:35 last update 2021-07-02 09:34:07 | Answers (1) | 收藏


Prop. 可测集上的特征函数是可测的.

即, 若 $E$ 是 $(X,\mathfrak{M})$ 中的可测集, 则 $E$ 上的特征函数 $\chi_{_E}$ (有的也写为 $1_{E}$, 称为指示函数. 见[1] P.401) 是可测的.

 

 

 

 

References:

[1] 陶哲轩,  《实分析》

6. 实可测函数列的上确界函数, 下确界函数以及上极限函数都是可测的.

Posted by haifeng on 2021-07-01 23:42:11 last update 2021-07-01 23:56:42 | Answers (1) | 收藏


实可测函数列的上确界函数,  下确界函数以及上极限函数都是可测的.  具体的,

Thm. 如果 $f_n:\ X\rightarrow[-\infty,\infty]$ 是可测的, $n=1,2,3,\ldots$. 且设

\[
g_{\sup}=\sup_{n\geqslant 1}f_n,\quad g_{\inf}=\inf_{n\geqslant 1}f_n,\quad h=\limsup_{n\rightarrow\infty}f_n,
\]

则 $g_{\sup}$, $g_{\inf}$ 和 $h$ 都是可测的.

 

 

参考 [1] P.16 定理 1.14


References:

[1] W. Rudin 《实分析和复分析》

7. Fatou 引理中严格不等式的例子

Posted by haifeng on 2021-07-01 00:02:15 last update 2021-07-01 00:02:38 | Answers (0) | 收藏


\[
f_n=\begin{cases}
\chi_{_E}\ , & n\ \text{是奇数},\\
1-\chi_{_E}\ , & n\ \text{是偶数}.\\
\end{cases}
\]

8. Fatou 引理

Posted by haifeng on 2021-07-01 00:00:37 last update 2021-07-01 00:03:34 | Answers (1) | 收藏


如果对每一个正整数 $n$, 函数 $f_n:\ X\rightarrow[0,\infty]$ 是可测的, 则

\[
\int_X (\liminf_{n\rightarrow\infty}f_n)\mathrm{d}\mu\leqslant\liminf_{n\rightarrow\infty}\int_X f_n\mathrm{d}\mu,\tag{1}
\]

(1) 式中严格不等式是能出现的, 见 [1] P. 37 习题 8 (问题2773).

 

 


References:

[1] W. Rudin, 《实分析与复分析》

9. Lebesgue 单调收敛定理, Fatou 定理, Lebesgue 控制收敛定理的关系

Posted by haifeng on 2021-06-29 11:36:35 last update 2021-07-02 10:37:47 | Answers (0) | 收藏


Lebesgue 单调收敛定理 $\Rightarrow$ Fatou 定理 $\Rightarrow$ Lebesgue 控制收敛定理

这里的意思是, 我们应用 Lebesgue 单调收敛定理证明 Fatou 定理; 应用 Fatou 定理证明 Lebesgue 控制收敛定理.

 

 


Lebesgue 单调收敛定理, 描述的是可测空间 $X$ 上点态单调递增可测函数列 $f_n$, 如果点态收敛到函数 $f$, 则 $f$ 也是可测的, 且 $f_n$ 在 $X$ 上的 Lebesgue 积分收敛到 $f$ 在 $X$ 上的 Lebesgue 积分.

具体的,

Lebesgue 单调收敛定理

Thm. 设 $\{f_n\}$ 是一个 $X$ 上的可测函数序列, 且假定

(a) 对每一个 $x\in X$, $0\leqslant f_1(x)\leqslant f_2(x)\leqslant\cdots\leqslant\infty$.

(b) 存在函数 $f:X\rightarrow[0,\infty]$, 对每一个 $x\in X$, 当 $n\rightarrow\infty$ 时, $f_n(x)\rightarrow f(x)$.

则 $f$ 是可测的, 且当 $n\rightarrow\infty$ 时,

\[
\int_X f_n\mathrm{d}\mu\rightarrow\int_{X}f\mathrm{d}\mu.
\]

 

 

 

References:

W. Rudin,  《实分析与复分析》

10. Borel 集、可测集、Borel 映射之间的关系.

Posted by haifeng on 2021-06-28 21:28:18 last update 2021-06-28 21:30:06 | Answers (1) | 收藏


定理. 假设 $\mathfrak{M}$ 是 $X$ 内的 $\sigma$-代数, $Y$ 为拓扑空间, $f$ 映 $X$ 到 $Y$ 内:

  • (a) 设 $\Omega=\{E\subset Y\mid f^{-1}(E)\in\mathfrak{M}\}$, 则 $\Omega$ 为 $Y$ 内的 $\sigma$-代数.
  • (b) 如果 $f$ 可测且 $E$ 为 $Y$ 的 Borel 集, 则 $f^{-1}(E)\in\mathfrak{M}$.
  • (c) 如果 $Y=[-\infty,\infty]$, 且对每一个实数 $\alpha$, $f^{-1}((\alpha,\infty])\in\mathfrak{M}$, 则 $f$ 可测.
  • (d) 如果 $f$ 可测, $Z$ 为拓扑空间, $g:Y\rightarrow Z$ 为 Borel 映射, 且如果 $h=g\circ f$, 则 $h:X\rightarrow Z$ 可测.

 

注: (c) 常用来作为实值函数可测性的判别准则, 有的(大学)教材将 (c) 作为可测函数的定义.

 

见 [1] P.14  定理 1.12


References:

[1] W. Rudin, 实分析与复分析

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