Approximation of an integrable function by a simple function

real analysis - Approximation of an integrable function by a simple function - Mathematics Stack Exchange

Simple function approximation of a function in $L^p$

real analysis - Simple function approximation of a function in $L^p$ - Mathematics Stack Exchange

如果 $f$ 是 $\mathbb{R}^1$ 上的 Lebesgue 可测复函数, 证明在 $\mathbb{R}^1$ 上存在一个 Borel 函数 $g$, s.t., $f=g$ a.e. [m]

Remark: [m] 是指在测度意义下.

参考自 [1] P. 68, 习题14.

[1] W. Rudin, 《实分析和复分析》

函数 $f:\ \mathbb{R}\rightarrow\overline{\mathbb{R}}$ 定义为

\[f(x)=n,\quad\forall\ x\in[n,n+1)\]

这里 $\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup{\pm\infty}$.

首先回忆什么是 Borel 函数.  Borel 函数也称 Borel 可测函数, 是指定义在 Borel 集 $B\subset\mathbb{R}^n$ 上的函数 $f$,  如果满足对于任意实数 $\alpha$, $\{x\in B\mid f(x) > \alpha\}$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的 Borel 集.

Egoroff 定理 (теоремы Егорова)(叶果若夫定理/葉戈羅夫定理)

Thm. 若 $\mu(X) < \infty$, $\{f_n\}$ 是一个复的可测函数序列, 它在 $X$ 的每一点上点态收敛, 并且如果 $\varepsilon > 0$, 则存在一个可测集 $E\subset X$, 具有 $\mu(X-E) < \varepsilon$, 使得 $\{f_n\}$ 在 $E$ 上一致收敛.

注: 这个结论是说通过在测度任意小的集上重新定义 $f_n$, 我们能使点态收敛的序列转化为一致收敛序列; 注意与 Lusin 定理的类似性.

[Hint] 令

\[
S(n,k)=\bigcap_{i,j > n}\{x : |f_i(x)-f_j(x)| < \frac{1}{k}\}
\]

证明当 $n\rightarrow\infty$ 时, 对每一个 $k$, $\mu(S(n,k))\rightarrow\mu(X)$, 因此存在一个适当的递增的序列 $\{n_k\}$ 使得 $E=\cap_{k=1}^{\infty}S(n_k,k)$ 具有所要求的性质.

证明定理不能扩张到 $\sigma$-有限的空间 (即可列个有限测度的 $U_i$ 的并).

证明定理不能(用同一证法)扩张到用函数族 $\{f_t\}$ 代替序列 $\{f_n\}$ 时的情况, 这里 $t$ 在正实数内变化, 并且这个假定是: 对每一个 $x\in X$, 当 $t\rightarrow\infty$ 时, $f_t(x)\rightarrow f(x)$.

这里引入 $E_{\delta}$ 集的概念, 所谓的 $E_{\delta}$ 集, 指与 $X$ 在测度上相差很小的集, 即满足 $\mu(X-E_{\delta}) < \delta$.

定义(一致收敛).  $\forall\varepsilon > 0$, $\exists\ \delta > 0$, 在 $E_{\delta}$ 集上有

\[
|f_n-f| < \varepsilon.
\]

参考自 [1] P.84, 习题16.

References:

[1] W. Rudin, 《实分析和复分析》

是否存在一个仅具有可数个元素的无限 $\sigma$-代数?

[分析]

设 $\mathfrak{M}$ 是集合 $X$ 上的 $\sigma$-代数, 显然 $\mathfrak{M}\subset\mathscr{P}(X)$. (这里 $\mathscr{P}(X)$ 指 $X$ 的幂集, 有时也记作 $2^X$.)

这里要找这样一个可测空间 $(X,\mathfrak{M})$, 其中 $\mathfrak{M}$ 是可数无限集.

参考自 [1] 第一章习题 1.

References:

[1] W. Rudin, 《实分析和复分析》

设 $f\in L^{1}(\mu)$, ($L^{1}(\mu)$ 中的元素被称为 Lebesgue 可积函数或 Lebesgue 可求和函数).

若 $f=u+iv$, 这里 $u$ 和 $v$ 是 $X$ 上的实可测函数. 对每个可测集 $E$, 定义

\[
\int_E f\mathrm{d}\mu=\Bigl(\int_E u^{+}\mathrm{d}\mu-\int_E u^{-}\mathrm{d}\mu\Bigr)+i\Bigl(\int_E v^{+}\mathrm{d}\mu-\int_E v^{-}\mathrm{d}\mu\Bigr).
\]

设 $f\in L^{1}(\mu)$, 则 $f$ 具有黎曼积分的一些类似性质.

\[
\Biggl|\int_X f\mathrm{d}\mu\Biggr|\leqslant\int_X |f|\mathrm{d}\mu.
\]

等号成立当且仅当存在常数 $\alpha$, 使得 $\alpha f=|f|$ a.e. 于 $X$ 上.

参考自 [1] P. 30.

References:

[1] W. Rudin, 《实分析和复分析》

Lebesgue 控制收敛定理 讲的是如果 $(X,\mathfrak{M},\mu)$ 上复可测函数列 $\{f_n\}$ 逐点收敛到某函数 $f$, 且诸 $\{f_n\}$ 被某个 $L^1$ $\mu$-可积的函数 $g$ 控制(指 $|f_n(x)|\leqslant g(x)$, $\forall\ n$, $\forall\ x\in X$), 则 $f$ 在 $X$ 上也是 $L^1$ $\mu$-可积的, 并且它与 $f_n$ 在 $X$ 上相差很小, 差值的模的积分趋于零. 且 $f_n$ 在 $X$ 上的 Lebesgue 积分收敛且趋于 $f$ 在 $X$ 上的 Lebesgue 积分.

使用数学语言, 即

Thm. 假定 $\{f_n\}$ 是 $X$ 上的复可测函数列, 使得

\[f(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x),\qquad x\in X.\]

若存在一个函数 $g\in L^{1}(\mu)$ 使得

\[
|f_n(x)|\leqslant g(x),\qquad(n=1,2,3,\ldots;\ x\in X)
\]

则 $f\in L^{1}(\mu)$,

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\int_X |f_n-f|\mathrm{d}\mu=0,
\]

并且

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\int_X f_n\mathrm{d}\mu=\int_X f\mathrm{d}\mu.
\]

注意

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\int_X |f_n-f|\mathrm{d}\mu=0\quad+\quad f\in L^{1}(\mu)\quad\text{可推出}\quad\lim_{n\rightarrow\infty}\int_X f_n\mathrm{d}\mu=\int_X f\mathrm{d}\mu.
\]

参考 [1] P. 31.

References:

[1] W. Rudin, 《实分析和复分析》

Prop. 可测集上的特征函数是可测的.

即, 若 $E$ 是 $(X,\mathfrak{M})$ 中的可测集, 则 $E$ 上的特征函数 $\chi_{_E}$ (有的也写为 $1_{E}$, 称为指示函数. 见[1] P.401) 是可测的.

References:

[1] 陶哲轩,  《实分析》

实可测函数列的上确界函数,  下确界函数以及上极限函数都是可测的.  具体的,

Thm. 如果 $f_n:\ X\rightarrow[-\infty,\infty]$ 是可测的, $n=1,2,3,\ldots$. 且设

\[
g_{\sup}=\sup_{n\geqslant 1}f_n,\quad g_{\inf}=\inf_{n\geqslant 1}f_n,\quad h=\limsup_{n\rightarrow\infty}f_n,
\]

则 $g_{\sup}$, $g_{\inf}$ 和 $h$ 都是可测的.

参考 [1] P.16 定理 1.14

References:

[1] W. Rudin 《实分析和复分析》

令

\[
f_n=\begin{cases}
\chi_{_E}\ , & n\ \text{是奇数},\\
1-\chi_{_E}\ , & n\ \text{是偶数}.\\
\end{cases}
\]