问题及解答

Prop. 可测集上的特征函数是可测的.

即, 若 $E$ 是 $(X,\mathfrak{M})$ 中的可测集, 则 $E$ 上的特征函数 $\chi_{_E}$ (有的也写为 $1_{E}$, 称为指示函数. 见[1] P.401) 是可测的.

References:

[1] 陶哲轩,  《实分析》

Pf.

\[
\chi^{-1}_{_E}\bigl((\alpha,\infty]\bigr)=
\begin{cases}
X, & \alpha < 0,\\
E, & 0\leqslant\alpha < 1,\\
\emptyset, & \alpha\geqslant 1.
\end{cases}
\]

因此, 对于任意实数 $\alpha$, $\chi^{-1}_{_E}\bigl((\alpha,\infty]\bigr)\in\mathfrak{M}$, 故 $\chi_{_E}$ 是可测函数.