问题

Egoroff 定理 (теоремы Егорова)(叶果若夫定理/葉戈羅夫定理)

Thm. 若 $\mu (X)<\mathrm{\infty }$, $\{f_n\}$ 是一个复的可测函数序列, 它在 $X$ 的每一点上点态收敛, 并且如果 $\epsilon >0$, 则存在一个可测集 $E\subset X$, 具有 $\mu (X-E)<\epsilon$, 使得 $\{f_n\}$ 在 $E$ 上一致收敛.

注: 这个结论是说通过在测度任意小的集上重新定义 $f_n$, 我们能使点态收敛的序列转化为一致收敛序列; 注意与 Lusin 定理的类似性.

[Hint] 令

$$S(n,k)=\bigcap _{i,j>n}\{x:|f_i(x)-f_j(x)|<\frac{1}{k}\}$$

证明当 $n\to \mathrm{\infty }$ 时, 对每一个 $k$, $\mu (S(n,k))\to \mu (X)$, 因此存在一个适当的递增的序列 $\{n_k\}$ 使得 $E={\cap }_{k=1}^{\mathrm{\infty }}S(n_k,k)$ 具有所要求的性质.

证明定理不能扩张到 $\sigma$-有限的空间 (即可列个有限测度的 $U_i$ 的并).

证明定理不能(用同一证法)扩张到用函数族 $\{f_t\}$ 代替序列 $\{f_n\}$ 时的情况, 这里 $t$ 在正实数内变化, 并且这个假定是: 对每一个 $x\in X$, 当 $t\to \mathrm{\infty }$ 时, $f_t(x)\to f(x)$.

这里引入 $E_{\delta }$ 集的概念, 所谓的 $E_{\delta }$ 集, 指与 $X$ 在测度上相差很小的集, 即满足 $\mu (X-E_{\delta })<\delta$.

定义(一致收敛).  $\mathrm{\forall }\epsilon >0$, $\mathrm{\exists }\delta >0$, 在 $E_{\delta }$ 集上有

$$|f_n-f|<\epsilon .$$

参考自 [1] P.84, 习题16.

References:

[1] W. Rudin, 《实分析和复分析》