实可测函数列的上确界函数, 下确界函数以及上极限函数都是可测的. 具体的,
Thm. 如果 $f_n:\ X\rightarrow[-\infty,\infty]$ 是可测的, $n=1,2,3,\ldots$. 且设
\[
g_{\sup}=\sup_{n\geqslant 1}f_n,\quad g_{\inf}=\inf_{n\geqslant 1}f_n,\quad h=\limsup_{n\rightarrow\infty}f_n,
\]
则 $g_{\sup}$, $g_{\inf}$ 和 $h$ 都是可测的.
参考 [1] P.16 定理 1.14
References:
[1] W. Rudin 《实分析和复分析》
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Pf. 设 $\mathfrak{M}$ 是 $X$ 上这些可测函数 $\{f_n\}$ 所基于的 $\sigma$-代数. 不妨记 $g_1=g_{\sup}$, $g_2=g_{\inf}$. 由 $g_1$ 的定义,
\[
g_{1}^{-1}((\alpha,\infty])=\bigcup_{n=1}^{\infty}f_n^{-1}((\alpha,\infty]),\qquad g_{2}^{-1}((\alpha,\infty])=\bigcap_{n=1}^{\infty}f_n^{-1}((\alpha,\infty]).
\]
由于 $f_n$ 是可测的, 故 $f_n^{-1}((\alpha,\infty])\in\mathfrak{M}$. 于是 $\bigcup_{n=1}^{\infty}f_n^{-1}((\alpha,\infty])\in\mathfrak{M}$, 即 $g_{1}^{-1}((\alpha,\infty])\in\mathfrak{M}$. 故 $g_1$ 是可测的.
同理, $\bigcap_{n=1}^{\infty}f_n^{-1}((\alpha,\infty])\in\mathfrak{M}$, (这是因为 $\mathfrak{M}$ 对可数交是封闭的.) 即 $g_{2}^{-1}((\alpha,\infty])\in\mathfrak{M}$. 故 $g_2$ 也是可测的.
对于 $h$, 由上极限的定义
\[
h=\inf_{k\geqslant 1}\{\sup_{i\geqslant k}f_i\},
\]
故 $h$ 是可测的.