问题

实可测函数列的上确界函数,  下确界函数以及上极限函数都是可测的.  具体的,

Thm. 如果 $f_n:\ X\rightarrow[-\infty,\infty]$ 是可测的, $n=1,2,3,\ldots$. 且设

\[
g_{\sup}=\sup_{n\geqslant 1}f_n,\quad g_{\inf}=\inf_{n\geqslant 1}f_n,\quad h=\limsup_{n\rightarrow\infty}f_n,
\]

则 $g_{\sup}$, $g_{\inf}$ 和 $h$ 都是可测的.

参考 [1] P.16 定理 1.14

References:

[1] W. Rudin 《实分析和复分析》