问题

函数 $f:\mathbb{R}\to \bar{\mathbb{R}}$ 定义为

$$f(x)=n,\mathrm{\forall }x\in [n,n+1)$$

这里 $\bar{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup \pm \mathrm{\infty }$.

首先回忆什么是 Borel 函数.  Borel 函数也称 Borel 可测函数, 是指定义在 Borel 集 $B\subset {\mathbb{R}}^n$ 上的函数 $f$,  如果满足对于任意实数 $\alpha$, $\{x\in B\mid f(x)>\alpha \}$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 中的 Borel 集.