给定一个有理数 $x$, 可以证明存在无穷多的分数 $\frac{p}{q}$, ($p,q$ 互素), 使得

\[
\Bigl|x-\frac{p}{q}\Bigr|\leq\frac{1}{q^2}.
\]

但是, 对于那些存在无穷多个分数 $\frac{p}{q}$, ($p,q$ 互素), 使得

\[
\Bigl|x-\frac{p}{q}\Bigr|\leq\frac{1}{q^3},\quad(\text{or}\ \leq\frac{1}{q^{2+\varepsilon}})
\]

成立的 $x\in\mathbb{R}$ 构成的集合来说, 却是一个零测集.

[Def](Devil\'s staircase/ Cantor function)

若函数 $\varphi:\mathbb{R}\rightarrow [0,1]$ 满足下述泛函条件

1. $\frac{1}{2}\varphi(3x)+\frac{1}{2}\varphi(3x-2)\equiv\varphi(x)$, $\forall\ x\in\mathbb{R}$;
2. $\varphi|_{(-\infty,0]}\equiv 0$;
3. $\varphi|_{[1,+\infty)}\equiv 1$.

则称 $\varphi|_{[0,1]}:[0,1]\rightarrow [0,1]$ 为 Devil\'s staircase 或 Cantor 函数.

Prop. Cantor 函数是一一的单调递增的连续函数, 且在 Cantor 集上是严格单调递增的.

Remark. Cantor 函数不是绝对连续的(absolutely continuous). 因为 $f\'$ 的积分与 $f$ 的增加值并不相同.

Q. 作为曲线, 如果 Cantor 函数处处可导(?可以吗), 即 Cantor 函数的图像在每一点处有切线, 则切线的变化必定不连续.(?)

Ref.

http://en.wikipedia.org/wiki/Cantor_function

证明整系数多项式全体是可列的.

Proof.  整系数多项式形如

\[
P_n(x)=a_0 x^n+a_1 x^{n-1}+a_2 x^{n-2}+\cdots+a_{n-1} x+a_n,
\]

其中 $a_i\in\mathbb{Z}$, $i=0,1,2,\ldots,n$, 且 $a_0\neq 0$.  将所有这种多项式构成的集合记为 $\mathcal{P}$.

我们可以将整个集合按照多项式的阶分组, 比如 $\mathcal{P}_n$ 表示所有 $n$ 阶整系数多项式全体. 则

\[\mathcal{P}=\mathcal{P}_0\cup\mathcal{P}_1\cup\mathcal{P}_1\cup\mathcal{P}_2\cup\cdots\cup\mathcal{P}_n\cup\cdots\]

于是只要证明每个 $\mathcal{P}_k$ 是可列的. 而 $\mathcal{P}_k\cong\mathbb{N}\times\mathbb{N}\times\cdots\times\mathbb{N}=\mathbb{N}^{k+1}$ 显然是可数集.

References

郑维行, 王声望 编 《实变函数与泛函分析概要》

1. 以有理数为端点的区间集;
2. 闭正方形 $[0,1]^2=[0,1;0,1]=[0,1]\times[0,1]$.

如果可能, 试作这种对应方法.

References

1. $[0,1]$ 与 $(0,1)$.
2. $[a,b]$ 与 $(-\infty,+\infty)$.
3. 开上半平面与开单位圆盘.

由于 $\arctan$ 是 $(-\infty,+\infty)$ 到 $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ 之间的同胚, 因此只要解决第一题即可解决第二题.

第三题, 我们要做的是将开上半平面的边界(连通无穷远)映射到开单位圆盘的边界. 也就是说, 当上半平面中的点趋向于 $x$ 轴或趋向于无穷远时, 对应的在开单位圆盘中的点将趋向于圆盘的边界.

References

郑维行, 王声望 编 《实变函数与泛函分析概要》 P.31 第一章习题 4.

证明: 平面上至少存在一圆周不含有理点.