问题

1. $[0,1]$ 与 $(0,1)$.
2. $[a,b]$ 与 $(-\infty,+\infty)$.
3. 开上半平面与开单位圆盘.

由于 $\arctan$ 是 $(-\infty,+\infty)$ 到 $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ 之间的同胚, 因此只要解决第一题即可解决第二题.

第三题, 我们要做的是将开上半平面的边界(连通无穷远)映射到开单位圆盘的边界. 也就是说, 当上半平面中的点趋向于 $x$ 轴或趋向于无穷远时, 对应的在开单位圆盘中的点将趋向于圆盘的边界.

References

郑维行, 王声望 编 《实变函数与泛函分析概要》 P.31 第一章习题 4.