问题及解答

1. $[0,1]$ 与 $(0,1)$.
2. $[a,b]$ 与 $(-\infty,+\infty)$.
3. 开上半平面与开单位圆盘.

由于 $\arctan$ 是 $(-\infty,+\infty)$ 到 $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ 之间的同胚, 因此只要解决第一题即可解决第二题.

第三题, 我们要做的是将开上半平面的边界(连通无穷远)映射到开单位圆盘的边界. 也就是说, 当上半平面中的点趋向于 $x$ 轴或趋向于无穷远时, 对应的在开单位圆盘中的点将趋向于圆盘的边界.

References

郑维行, 王声望 编 《实变函数与泛函分析概要》 P.31 第一章习题 4.

定义映射 $f:\ [0,1]\rightarrow(0,1)$ 如下:

若 $a\in[0,1]$ 是无理数, 则令 $f(a)=a$;

若 $a\in[0,1]$ 是有理数, 则将它们排成一列, $0,1,r_1,r_2,r_3,\ldots$, 其中 $r_1,r_2,r_3\ldots$ 是 $(0,1)$ 中的所有有理数. 从而令 $f$ 为

\[
\begin{aligned}
0&\mapsto r_1,\\
1&\mapsto r_2,\\
r_1&\mapsto r_3,\\
r_2&\mapsto r_4,\\
r_3&\mapsto r_5,\\
&\vdots
\end{aligned}
\]

显然 $f$ 是一一映射.