如果对每一个正整数 $n$, 函数 $f_n:\ X\rightarrow[0,\infty]$ 是可测的, 则

\[
\int_X (\liminf_{n\rightarrow\infty}f_n)\mathrm{d}\mu\leqslant\liminf_{n\rightarrow\infty}\int_X f_n\mathrm{d}\mu,\tag{1}
\]

(1) 式中严格不等式是能出现的, 见 [1] P. 37 习题 8 (问题2773).

References:

[1] W. Rudin, 《实分析与复分析》

Lebesgue 单调收敛定理 $\Rightarrow$ Fatou 定理 $\Rightarrow$ Lebesgue 控制收敛定理

这里的意思是, 我们应用 Lebesgue 单调收敛定理证明 Fatou 定理; 应用 Fatou 定理证明 Lebesgue 控制收敛定理.

Lebesgue 单调收敛定理, 描述的是可测空间 $X$ 上点态单调递增可测函数列 $f_n$, 如果点态收敛到函数 $f$, 则 $f$ 也是可测的, 且 $f_n$ 在 $X$ 上的 Lebesgue 积分收敛到 $f$ 在 $X$ 上的 Lebesgue 积分.

具体的,

Lebesgue 单调收敛定理

Thm. 设 $\{f_n\}$ 是一个 $X$ 上的可测函数序列, 且假定

(a) 对每一个 $x\in X$, $0\leqslant f_1(x)\leqslant f_2(x)\leqslant\cdots\leqslant\infty$.

(b) 存在函数 $f:X\rightarrow[0,\infty]$, 对每一个 $x\in X$, 当 $n\rightarrow\infty$ 时, $f_n(x)\rightarrow f(x)$.

则 $f$ 是可测的, 且当 $n\rightarrow\infty$ 时,

\[
\int_X f_n\mathrm{d}\mu\rightarrow\int_{X}f\mathrm{d}\mu.
\]

References:

W. Rudin,  《实分析与复分析》

定理. 假设 $\mathfrak{M}$ 是 $X$ 内的 $\sigma$-代数, $Y$ 为拓扑空间, $f$ 映 $X$ 到 $Y$ 内:

• (a) 设 $\Omega=\{E\subset Y\mid f^{-1}(E)\in\mathfrak{M}\}$, 则 $\Omega$ 为 $Y$ 内的 $\sigma$-代数.
• (b) 如果 $f$ 可测且 $E$ 为 $Y$ 的 Borel 集, 则 $f^{-1}(E)\in\mathfrak{M}$.
• (c) 如果 $Y=[-\infty,\infty]$, 且对每一个实数 $\alpha$, $f^{-1}((\alpha,\infty])\in\mathfrak{M}$, 则 $f$ 可测.
• (d) 如果 $f$ 可测, $Z$ 为拓扑空间, $g:Y\rightarrow Z$ 为 Borel 映射, 且如果 $h=g\circ f$, 则 $h:X\rightarrow Z$ 可测.

注: (c) 常用来作为实值函数可测性的判别准则, 有的(大学)教材将 (c) 作为可测函数的定义.

见 [1] P.14  定理 1.12

References:

[1] W. Rudin, 实分析与复分析

上极限 $\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}a_n$ 指对于实数序列 $\{a_n\}$ 先取上确界序列 $\{b_n\}$, 这里

\[
b_n:=\sup\{a_n,a_{n+1},a_{n+2},\ldots\}\qquad (n=1,2,3,\ldots)
\]

也记 $b_n$ 为 $\bar{a}_n$, 即 $\bar{a}_n:=\sup\{a_k\mid k\geqslant n\}$. 显然 $\{b_n\}$ （或 $\{\bar{a}_n\}$） 单调递减. 如果有下界, 则有极限; 如果 $\{b_n\}$ 没有下界, 则 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}b_n=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\bar{a}_n=-\infty$. (例如当 $\{a_n\}$ 单调递减并趋于 $-\infty$ 时, $\{b_n\}$ ($\{\bar{a}_n\}$) 也趋于 $-\infty$.)

记 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}b_n=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\bar{a}_n$ (事实上, 也即 $\inf\{b_k\}$)为 

\[
\limsup_{n\rightarrow\infty}a_n\quad\text{或}\quad\varlimsup_{n\rightarrow\infty}a_n.
\]

因此, 可以认为

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}b_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\sup\{a_n,a_{n+1},a_{n+2},\ldots\}=\limsup_{n\rightarrow\infty}a_n
\]

Remark:

• $\{b_k\}$ 单调递减是因为 $\sup\{a_k,a_{k+1},a_{k+2},\ldots\}\geqslant\sup\{a_{k+1},a_{k+2},\ldots\}$.
• $\{a_n\}$ 有子列趋于 $-\infty$ 不能推出 $b_k=\sup\{a_k,a_{k+1},a_{k+2},\ldots\}\rightarrow -\infty$, 有可能 $\{b_k\}$ 是有极限的.
• 上面 $\{a_n\}$ 可以扩充到 $\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}$.

类似的, 可以定义下极限.

[Def] 设 $\{a_n\}$ 为一个序列, $a_n\in[-\infty,\infty]$. 令

\[
p_n=\underline{a_n}=\inf\{a_n,a_{n+1},a_{n+2},\ldots\}\qquad (n=1,2,3,\ldots)
\]

易见 $\{p_n\}_{n=1}^{\infty}$ ($\{\underline{a_n}\}_{n=1}^{\infty}$) 是单调递增序列. 令

\[
\beta:=\sup\{p_1,p_2,p_3,\ldots\}
\]

称 $\beta$ 为 $\{a_n\}$ 的下极限, 记作 

\[
\beta=\liminf_{n\rightarrow\infty}a_n\quad\text{或}\quad\varliminf_{n\rightarrow\infty}a_n.
\]

也就是说

\[
\liminf_{n\rightarrow\infty}a_n:=\sup_{k}\inf\{a_k,a_{k+1},a_{k+2},\ldots\}
\]

References:

1. W. Rudin, 实分析和复分析
2. 梅加强, 数学分析

首次编辑于 2021-04-06.
更新:  2023-12-19

利用Fubini定理和关系式

\[\frac{1}{x}=\int_0^{\infty}e^{-xt}\mathrm{d}t\quad (x > 0)\]

去证明

\[\lim\limits_{A\rightarrow\infty}\int_0^A\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x=\frac{\pi}{2}.\]

也可参见问题1388

题目来自:

W. Rudin, 《实分析与复分析》 Chapter 7, Exercise 12.

Borel 集, Borel 映射, Borel 测度

对每个复数 $z$, $\exp(z)$ 定义为

\[\exp(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}\]

证明:

(1) 此级数对每个 $z\in\mathbb{C}$ 绝对收敛.

(2) 对复平面的每个有界子集一致收敛.

由绝对收敛指出下面(复数)级数的乘积

\[
\begin{split}
(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^k}{k!})\cdot(\sum_{m=0}^{\infty}\frac{w^m}{m!})&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^{n}\frac{n!}{k!(n-k)!}z^k w^{n-k}\\
&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(z+w)^n}{n!}
\end{split}
\]

是正确的. 它给出了重要的加法公式

\[
\exp(z)\cdot\exp(w)=\exp(z+w),\quad\forall\ z,w\in\mathbb{C}.
\]

因此, 为了兼容实数时的习惯, 我们记 $e^z=\exp(z)$, 从而也有这种形式 $e^z e^w=e^{z+w}$.

显然 $e=\exp(1)$. $e^0=\exp(0)=1$.

下面的定理可以被认为是复变函数的基础.

定理. 

(a)  对每个复数 $z$, $e^z\neq 0$.

(b) $\exp'(z)=\exp(z)$.

(c)

参见 [1] 引言.

References:

[1] W. Rudin, 《实分析和复分析》

Vitali 集指 $[0,1]$ 的一个子集 $V$, 每个实数 $r\in\mathbb{R}$ 对应到 $V$ 中的一个数 $v$, 满足 $v-r\in\mathbb{Q}$.

也就是说, 如果在 $\mathbb{R}$ 上定义一个等价关系: $a\sim b\Leftrightarrow a-b\in\mathbb{Q}$. 然后将每个等价类取一个代表元出来构成的集合, 就称为 Vitali 集合.

从商群的角度. $\mathbb{Q}$ 是 $\mathbb{R}$ 的一个加法子群. 因此可构造加法商群 $\mathbb{R}/\mathbb{Q}$.

\[\mathbb{R}/\mathbb{Q}=\{\mathbb{Q}+r\mid r\in\mathbb{R}\}.\]

每个集合 $\mathbb{Q}+r$ 与 $[0,1]$ 相交非空. 且 $\bigcup_{r\in\mathbb{R}}\mathbb{Q}+r=\mathbb{R}$. 因此根据选择公理, 存在 $[0,1]$ 中的一个子集, 记作 $V$, 它恰好包含 $\mathbb{R}/\mathbb{Q}$ 中每个元素的代表元. 因此 Vitali 集是存在的. (但其存在性是基于选择公理.)

Thm(Vitali 定理). Vitali 集是存在的, 而且有不可数个.

Claim1. 每个 Vitali 集是不可数的. 并且对 $\forall\ u,v\in V$, $u\neq v$, 有 $u-v\not\in\mathbb{Q}$.

Pf. 若 Vitali 集是可数的, 则 $\bigcup\{\mathbb{Q}+r_i\mid i=1,2,\ldots\}$ 是可数集, 与 $\mathbb{R}$ 不可数矛盾.

后者也是显然的, 如果 $u-v\in\mathbb{Q}$, 则 $u,v$ 位于同一等价类中.

Claim2. Vitali 集是不可测集.

Pf.(反证法) 假设 Vitali 集是可测的, 令 $q_1,q_2,\ldots$ 是 $[-1,1]$ 中的所有有理数. 注意到平移集 $V_k:=V+q_k=\{v+q_k\mid v\in V\}$ 两两不相交. (否则若存在 $u,v\in V$ 使得 $u+q_i=v+q_j$, 则 $u-v\in\mathbb{Q}$, 矛盾.)

进一步, 注意到

\[[0,1]\subset\bigcup_k V_k\subset [-1,2],\]

其中第二个包含关系是显然的. 第一个包含关系是因为, $\forall\ r\in[0,1]$, 设 $r$ 所在的等价类是 $v$, 即 $v=[r]$. 则 $r-v=q$, $q\in [-1,1]\cap\mathbb{Q}$. 即 $r=v+q$ 包含在某个 $V_k$ 中, 因此 $[0,1]\subset\bigcup_k V_k$.

对这些包含关系应用 Lebesgue 测度的 $\sigma$-可加性, 得

\[1\leqslant\sum_{k=1}^{\infty}\lambda(V_k)\leqslant 3.\]

而 Lebesgue 测度是平移不变的, $\lambda(V_k)=\lambda(V)$, 因此 $1\leq\sum_{k=1}^{\infty}\lambda(V)\leq 3$. 这是不可能的. 因此 $V$ 不是可测集.

换句话说, Lebesgue 测度 $\lambda$ 并非对每个集合都定义一个值.

References:

http://en.wikipedia.org/wiki/Vitali_set

Thm. 设 $K$ 是紧度量空间, 度量为 $d_K$. 令 $\mathcal{C}(K)$ 为 $K$ 上的所有实(或复)函数全体组成的集合. 设函数列 $\{f_n\}_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathcal{C}(K)$, 满足下面两个条件:

1. (逐点有界) $\forall\ p\in K$, $\exists\ \phi(p)>0$, s.t. $|f_n(p)|\leqslant\phi(p)$, $\forall\ p\in K$.
2. (等度连续) $\forall\ \varepsilon>0$, $\exists\ \delta>0$, s.t. 当 $d_K(p,p')<\delta$ 时, 都有 $|f_n(p)-f_n(p')|<\varepsilon$, 这对所有 $n\in\mathbb{N}$ 都成立.

则,

 (a) $\exists\ M>0$, s.t. $|f_n(p)|\leqslant M$, 对任意 $p\in K$ 和 任意 $n\in\mathbb{N}$. 此时称 $\{f_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ 是一致有界.

(b) $\{f_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ 包含一个一致收敛的子序列.

Remark:

若对所有 $x\in\Omega$ 及对所有 $f\in\mathcal{F}$ 有 $|f(x)|\leqslant M$, 其中 $M$ 是某个固定的正数. 则称函数族 $\mathcal{F}$ 在 $\Omega$ 中一致有界.

References:

http://www.math.ubc.ca/~feldman/m321/arzela.pdf

压缩映射原理对于构造线性方程和非线性方程的解很有用.

【定义】设 $(X,d)$ 是一个度量空间, 映射 $T:\ X\rightarrow X$ 称为是(严格)压缩映射(contraction mapping, or contraction), 若存在一个常数 $c$, $(0\leq c < 1)$, 使得

\[
d(T(x),T(y))\leq c d(x,y)
\]

对所有 $x,y\in X$ 成立.

Thm. 设 $\bar{B}^n$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的单位闭球. 且 $T:\ \bar{B}^n\rightarrow\bar{B}^n$ 是严格压缩映射. 则 $T$ 存在惟一的不动点. 即存在惟一一点 $x\in\bar{B}^n$, 使得 $T(x)=x$.

Remark:

这个定理可以推广到一般的度量空间.

Thm. 设 $(X,\rho)$ 是一个完备的度量空间, $T$ 是 $(X,\rho)$ 到其自身的一个(严格)压缩映射, 则 $T$ 在 $X$ 上存在惟一的不动点.

一般来说, 要得到不动点的存在性和惟一性, 我们得要求映射是严格压缩映射. 比如, $X=\{0,1\}$ 是离散度量空间, 度量定义为 $d(0,1)=1$. 令 $T(0)=1$, $T(1)=0$, 则 $T$ 是非严格压缩映射, 但不存在不动点. 若令 $T$ 是恒同映射, 则每一点都是不动点.

压缩映射定理是特殊的不动点定理.

值得注意的是, 某些情况下, 如果压缩映射中常数 $c$ 放宽至 $0\leq c\leq 1$ , 也可推出存在不动点, 但惟一性不成立. （此时也称这样的映射为压缩映射，而将 $c < 1$ 的映射称为严格压缩映射.）

比如:

Claim: 设 $K$ 是 $n$ 维欧氏空间 $\mathbb{R}^n$ 中的紧致凸子集, $T:\ K\rightarrow K$ 满足

\[
d(T(x),T(y))\leq c d(x,y),\quad\forall\ x,y\in B.
\]

这里 $c\in [0,1]$. 则 $T$ 也存在不动点.

如果要存在不动点, 更一般的, 映射只要求连续就可以了, 在拓扑学中有这样的定理. 

Brouwer 不动点定理: 对于 $\mathbb{R}^n$ 中的单位闭球 $\bar{B}^n$, 只要 $T:\ \bar{B}^n\rightarrow\bar{B}^n$ 是连续映射, 则 $T$ 必有不动点 $x\in\bar{B}^n$.

Brouwer 不动点定理是针对有限维空间的，可以将它推广到无穷维空间的情形，这就是 Schauder 不动点定理.

Schauder 不动点定理: 设 $C$ 是 $B^*$ 空间 $\mathcal{X}$ 中的一个闭凸子集, $T:\ C\rightarrow C$ 连续且 $T(C)$ 列紧, 则 $T$ 在 $C$ 上必有一个不动点.

Schauder 不动点定理的一个推论讲的是:

若 $C$ 是 $B^*$ 空间 $\mathcal{X}$ 中的一个有界闭凸子集, $T:\ C\rightarrow C$ 是紧的, 则 $T$ 在 $C$ 上必有不动点.

因此, 上面的 Claim 可以作为该推论在有限维欧氏空间时的特殊情形.