如果对每一个正整数 $n$, 函数 $f_n:\ X\rightarrow[0,\infty]$ 是可测的, 则
\[
\int_X (\liminf_{n\rightarrow\infty}f_n)\mathrm{d}\mu\leqslant\liminf_{n\rightarrow\infty}\int_X f_n\mathrm{d}\mu,\tag{1}
\]
(1) 式中严格不等式是能出现的, 见 [1] P. 37 习题 8 (问题2773).
References:
[1] W. Rudin, 《实分析与复分析》
1
Pf. 令
\[
g_k(x)=\inf_{i\geqslant k}f_i(x)\qquad (k=1,2,3,\ldots;\ x\in X)
\]
则 $g_k$ 是可测的, 且 $g_k\leqslant f_k$. 所以可以定义 Lebesgue 积分, 且有
\[
\int_X g_k\mathrm{d}\mu\leqslant\int_X f_k\mathrm{d}\mu\qquad(k=1,2,3,\ldots)
\]
注意到 $0\leqslant g_1\leqslant g_2\leqslant g_3\leqslant\cdots$, 且根据下极限的定义, 对每个 $x\in X$,
\[
\sup_{k}g_k(x)=\liminf_{n\rightarrow\infty}f_n(x)
\]
即有
\[g_k(x)\rightarrow\liminf_{n\rightarrow\infty}f_n(x),\quad(k\rightarrow\infty)\]
根据 Lebesgue 单调收敛定理, 知
\[
\int_X g_k\mathrm{d}\mu\rightarrow\int_X(\liminf_{n\rightarrow\infty}f_n)\mathrm{d}\mu.
\]
故
\[
\int_X(\liminf_{n\rightarrow\infty}f_n)\mathrm{d}\mu\leqslant\int_X f_n\mathrm{d}\mu,\quad\forall\ n.
\]
因此, 有
\[
\int_X(\liminf_{n\rightarrow\infty}f_n)\mathrm{d}\mu\leqslant\liminf_{n\rightarrow\infty}\int_X f_n\mathrm{d}\mu.
\]
参考 [1] P.27.
References:
[1] W. Rudin, 《实分析和复分析》