问题及解答

Lebesgue 单调收敛定理 $\Rightarrow$ Fatou 定理 $\Rightarrow$ Lebesgue 控制收敛定理

这里的意思是, 我们应用 Lebesgue 单调收敛定理证明 Fatou 定理; 应用 Fatou 定理证明 Lebesgue 控制收敛定理.

Lebesgue 单调收敛定理, 描述的是可测空间 $X$ 上点态单调递增可测函数列 $f_n$, 如果点态收敛到函数 $f$, 则 $f$ 也是可测的, 且 $f_n$ 在 $X$ 上的 Lebesgue 积分收敛到 $f$ 在 $X$ 上的 Lebesgue 积分.

具体的,

Lebesgue 单调收敛定理

Thm. 设 $\{f_n\}$ 是一个 $X$ 上的可测函数序列, 且假定

(a) 对每一个 $x\in X$, $0\leqslant f_1(x)\leqslant f_2(x)\leqslant\cdots\leqslant\infty$.

(b) 存在函数 $f:X\rightarrow[0,\infty]$, 对每一个 $x\in X$, 当 $n\rightarrow\infty$ 时, $f_n(x)\rightarrow f(x)$.

则 $f$ 是可测的, 且当 $n\rightarrow\infty$ 时,

\[
\int_X f_n\mathrm{d}\mu\rightarrow\int_{X}f\mathrm{d}\mu.
\]

References:

W. Rudin,  《实分析与复分析》