问题

上极限 $\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}a_n$ 指对于实数序列 $\{a_n\}$ 先取上确界序列 $\{b_k\}$, 这里

\[
b_k:=\sup\{a_k,a_{k+1},a_{k+2},\ldots\}\qquad (k=1,2,3,\ldots)
\]

显然 $\{b_k\}$ 单调递减. 如果有下界, 则有极限; 如果 $\{b_k\}$ 没有下界, 则 $\lim\limits_{k\rightarrow\infty}b_k=-\infty$. (例如当 $\{a_n\}$ 单调递减并趋于 $-\infty$ 时, $\{b_k\}$ 也趋于 $-\infty$.)

记 $\lim\limits_{k\rightarrow\infty}b_k$ (事实上, 也即 $\inf\{b_k\}$)为 

\[
\limsup_{n\rightarrow\infty}a_n
\]

因此, 可以认为

\[
\lim_{k\rightarrow\infty}b_k=\lim_{k\rightarrow\infty}\sup\{a_k,a_{k+1},a_{k+2},\ldots\}=\limsup_{n\rightarrow\infty}a_n
\]

Remark:

• $\{b_k\}$ 单调递减是因为 $\sup\{a_k,a_{k+1},a_{k+2},\ldots\}\geqslant\sup\{a_{k+1},a_{k+2},\ldots\}$.
• $\{a_n\}$ 有子列趋于 $-\infty$ 不能推出 $b_k=\sup\{a_k,a_{k+1},a_{k+2},\ldots\}\rightarrow -\infty$, 有可能 $\{b_k\}$ 是有极限的.
• 上面 $\{a_n\}$ 可以扩充到 $\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}$.

类似的, 可以定义下极限.

[Def] 设 $\{a_n\}$ 为一个序列, $a_n\in[-\infty,\infty]$. 令

\[
b_k:=\inf\{a_k,a_{k+1},a_{k+2},\ldots\}\qquad (k=1,2,3,\ldots)
\]

易见 $\{b_k\}_{k=1}^{\infty}$ 是单调递增序列. 令

\[
\beta:=\sup\{b_1,b_2,b_3,\ldots\}
\]

称 $\beta$ 为 $\{a_n\}$ 的下极限, 记作 

\[
\beta=\liminf_{n\rightarrow\infty}a_n
\]

也就是说

\[
\liminf_{n\rightarrow\infty}a_n:=\sup_{k}\inf\{a_k,a_{k+1},a_{k+2},\ldots\}
\]

References:

W. Rudin, 实分析和复分析