问题及解答

Lebesgue 控制收敛定理 讲的是如果 $(X,\mathfrak{M},\mu )$ 上复可测函数列 $\{f_n\}$ 逐点收敛到某函数 $f$, 且诸 $\{f_n\}$ 被某个 $L^1$ $\mu$-可积的函数 $g$ 控制(指 $|f_n(x)|⩽g(x)$, $\mathrm{\forall }n$, $\mathrm{\forall }x\in X$), 则 $f$ 在 $X$ 上也是 $L^1$ $\mu$-可积的, 并且它与 $f_n$ 在 $X$ 上相差很小, 差值的模的积分趋于零. 且 $f_n$ 在 $X$ 上的 Lebesgue 积分收敛且趋于 $f$ 在 $X$ 上的 Lebesgue 积分.

使用数学语言, 即

Thm. 假定 $\{f_n\}$ 是 $X$ 上的复可测函数列, 使得

$$f(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_n(x),x\in X.$$

若存在一个函数 $g\in L^1(\mu )$ 使得

$$|f_n(x)|⩽g(x),(n=1,2,3,\dots ;x\in X)$$

则 $f\in L^1(\mu )$,

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_X|f_n-f|\mathrm{d}\mu =0,$$

并且

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_X{f}_n\mathrm{d}\mu ={\int }_{X}f\mathrm{d}\mu .$$

注意

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_X|f_n-f|\mathrm{d}\mu =0+f\in L^1(\mu )\text{可推出}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_X{f}_n\mathrm{d}\mu ={\int }_{X}f\mathrm{d}\mu .$$

参考 [1] P. 31.

References:

[1] W. Rudin, 《实分析和复分析》

Pf. 因为 $f$ 可测, 又 $|f|⩽g$, $g\in L^1(\mu )$, 故 $f\in L^1(\mu )$.

这里 $f$ 可测可由实可测函数的性质推出.

Claim. $|f_n-f|⩽2g$.

Pf. $|f_n(x)|⩽g(x)$, 推出 $|f_n(x)-f(x)|⩽|f_n(x)|+|f(x)|⩽g(x)+|f(x)|$, $\mathrm{\forall }x\in X$.

对 $|f_n(x)|⩽g(x)$ 取极限($n\to \mathrm{\infty }$), 得 $|f(x)|⩽g(x)$. 因此, 我们得到

$$|f_n-f|⩽2g.$$

把 Fatou 引理应用到函数 $2g-|f_n-f|$ 上, 得到

$$\begin{array}{rl}{\int }_{X}2g\mathrm{d}\mu & ={\int }_X(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim inf}(2g-|f_n-f|))\mathrm{d}\mu \\ & ⩽\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{\int }_X(2g-|f_n-f|)\mathrm{d}\mu \\ & ={\int }_{X}2g\mathrm{d}\mu +\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim inf}(-{\int }_X|f_n-f|\mathrm{d}\mu )\\ & ={\int }_{X}2g\mathrm{d}\mu -\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{\int }_X|f_n-f|\mathrm{d}\mu .\end{array}$$

因为 ${\int }_{X}2g\mathrm{d}\mu$ 是有限值, 从两边减去它, 便得

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{\int }_X|f_n-f|\mathrm{d}\mu ⩽0.$$

可以令 $b_n={\int }_X|f_n-f|\mathrm{d}\mu$, 则 $\{b_n\}$ 是非负实数列, 如果 $b_n\nrightarrow 0$, 则其上极限是正的, 于是 $b_n$ 必趋于零, 即

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_X|f_n-f|\mathrm{d}\mu =0.$$