问题及解答

是否存在一个仅具有可数个元素的无限 $\sigma$-代数?

[分析]

设 $\mathfrak{M}$ 是集合 $X$ 上的 $\sigma$-代数, 显然 $\mathfrak{M}\subset\mathscr{P}(X)$. (这里 $\mathscr{P}(X)$ 指 $X$ 的幂集, 有时也记作 $2^X$.)

这里要找这样一个可测空间 $(X,\mathfrak{M})$, 其中 $\mathfrak{M}$ 是可数无限集.

参考自 [1] 第一章习题 1.

References:

[1] W. Rudin, 《实分析和复分析》