证明下面的复函数是连续的.
设 $R > 0$, 定义 $\varphi:\ \mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$ 为
\[
\varphi(z)=\begin{cases}
z, & |z|\leqslant R,\\
\frac{Rz}{|z|}, & |z| > R,
\end{cases}
\]
证明 $\varphi$ 是复平面到半径为 $R$ 的圆盘上的连续映射.
注: 这个函数用在 Lusin 定理的证明中. Lusin 定理先就实的有界函数进行证明, 对于复函数, 要用到这里的 $\varphi$.