问题及解答

设 $R>0$, 定义 $\phi :\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ 为

$$\phi (z)=\{\begin{array}{ll}z,& |z|⩽R,\\ \frac{Rz}{|z|},& |z|>R,\end{array}$$

证明 $\phi$ 是复平面到半径为 $R$ 的圆盘上的连续映射.

注:  这个函数用在 Lusin 定理的证明中. Lusin 定理先就实的有界函数进行证明, 对于复函数, 要用到这里的 $\phi$.