问题及解答

1.  求抛物线 $y=4x-x^2$ 在其顶点处的曲率.

Note: 抛物线顶点处的曲率是最大的, 或者曲率半径是最小的.

回忆平面曲线, 如果能写成函数的形式 $y=f(x)$, 且 $f$ 有二阶导数, 其曲率公式为

\[
K(x)=\frac{|y''(x)|}{\Bigl(1+(y'(x))^2\Bigr)^{\frac{3}{2}}}
\]

这里 $y'(x)=4-2x$, $y''(x)=-2$, 因此

\[
K(x)=\frac{|-2|}{\Bigl(1+(4-2x)^2\Bigr)^{\frac{3}2}}
\]

抛物线方程为

\[y=4x-x^2=-(x-2)^2+4\]

故顶点的横坐标为 x=2. 于是顶点处的曲率为

\[
K(2)=2
\]