问题及解答

$GL_3(\mathbb{F}_3)$ 中有多少个矩阵?

即由数字 0,1,2 组成的 $3\times 3$ 矩阵中, 可逆的有多少个?

若令 $X_3=\{A\in F^{3\times 3}\mid \det(A)=0\}$, 这里 $F=\mathbb{F}_3$. 问 $X$ 中含有多少个元素?

References:

https://www.zhihu.com/question/508137995

可以先从简单的算起. 对于一阶方阵, $GL_1(\mathbb{F}_3)$ 仅有两个元素组成, 即 $\{(1), (2)\}$.

考虑二阶矩阵 $A\in GL_2(\mathbb{F}_3)$, 设 $A=\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}$, 于是 $a,b,c,d$ 应满足

\[
\begin{aligned}
ad-bc\neq 0,\\
a,b,c,d\in\mathbb{F}_3
\end{aligned}
\]

$X_2$ 中的元素形如

\[
\begin{aligned}
\begin{pmatrix}
0 & 0\\
c & d\\
\end{pmatrix}&\quad\text{共} 3\times 3=9\ \text{个}\\
\begin{pmatrix}
a & b\\
0 & 0\\
\end{pmatrix}&\quad (a,b)\neq(0,0),\ \text{共} 3\times 3-1=8\ \text{个}\\
\begin{pmatrix}
0 & b\\
0 & d\\
\end{pmatrix}&\quad b,d\neq 0, \text{共} 2\times 2=4\ \text{个}\\
\begin{pmatrix}
a & 0\\
c & 0\\
\end{pmatrix}&\quad a,c\neq 0, \text{共} 2\times 2=4\ \text{个}\\
\begin{pmatrix}
a & b\\
c & d\\
\end{pmatrix}&\quad a,b,c,d\neq 0, \text{共} 6\ \text{个}\\
\end{aligned}
\]

最后一种情形, 具体的有

\[
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
1 & 1\\
\end{pmatrix},\quad
\begin{pmatrix}
2 & 2\\
2 & 2\\
\end{pmatrix},\quad
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
2 & 2\\
\end{pmatrix},\quad
\begin{pmatrix}
2 & 2\\
1 & 1\\
\end{pmatrix},\quad
\begin{pmatrix}
1 & 2\\
1 & 2\\
\end{pmatrix},\quad
\begin{pmatrix}
2 & 1\\
2 & 1\\
\end{pmatrix}
\]

因此, $X_2$ 中共有 31 个元素. 于是 $GL_2(\mathbb{F}_3)$ 中共有 $3^4-31=50$ 个元素.