问题及解答

三维欧氏空间中一个多面体假设有 $7n$ 个面, 证明: 存在 $n+1$ 个面, 这 $n+1$ 个面有相同的边数(即都是 $m$-边形).

[Hint]  利用欧拉公式.

设 $V,E,F$ 分别表示一个多面体的顶点数、边数和面数, 则欧拉公式为

\[V-E+F=2.\] 

题目来源:

Bilibili,  Up:  RealFiddie

记此多面体为 $P$. 其面(的边界)有三边形(三角形)、四边形、五边形, $\ldots$, 直到 $M$-边形.

设 $k$-边形有 $a_k$ 个, $k=3,4,5,\ldots,M$. 因此, 总的面数为

\[F=\sum_{k=3}^{M}a_k.\]

而多面体的边(或者称为棱)是相邻两个面的交集(线段), 每个 $k$-边形有 $k$ 条边. 因此, 总的边数为

\[E=\frac{1}{2}\sum_{k=3}^{M}ka_k.\]

而总的顶点数可以估计为

\[V\leqslant\frac{1}{3}\sum_{k=3}^{M}ka_k.\]

根据上面三式以及欧拉公式可推出

\[
2=V-E+F\leqslant\sum_{k=3}^{M}(1-\frac{k}{2}+\frac{k}{3})a_k=\sum_{k=3}^{M}(1-\frac{k}{6})a_k.
\]

假设 $a_k\leqslant n$, $\forall\ k=3,4,\ldots,M$, 则

\[
2\leqslant\sum_{k=3}^{M}(1-\frac{k}{6})a_k\leqslant \sum_{k=3}^{M}(1-\frac{k}{6})n=n\cdot\Bigl[M-2-\frac{1}{6}\cdot\frac{(M+3)(M-2)}{2}.\Bigr]
\]

这推出

\[
2\leqslant \frac{n}{12}(M-2)(9-M).
\]

这说明 $M\in(2,9)$. 即 $M\leqslant 8$. 也就是说此多面体的每个面至多为 $8$-边形. 于是, 从面数上看, 有

\[7n=F=\sum_{k=3}^{M}a_k\leqslant\sum_{k=3}^{8}a_k\sum_{k=3}^{M}n=6n.\]

矛盾. 

故存在 $n+1$ 个面, 它们有相同的边数.