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问题及解答

利用导数定义证明 $(\tan x)'=\sec^2 x$.

Posted by haifeng on 2022-09-30 13:57:51 last update 2022-09-30 14:01:10 | Edit | Answers (1)

利用导数定义证明 $(\tan x)'=\sec^2 x$.

注意不使用导数的四则运算法则 $(\frac{u(x)}{v(x)})'=\frac{u'(x)v(v)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}$

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Posted by haifeng on 2022-10-08 09:26:11

记 $y=\tan x$, 则 $y'(a)$ 为

\[
\begin{split}
y'(a)&=\lim_{x\rightarrow a}\frac{\tan x-\tan a}{x-a}\\
&=\lim_{x\rightarrow a}\frac{1}{x-a}(\frac{\sin x}{\cos x}-\frac{\sin a}{\cos a})\\
&=\lim_{x\rightarrow a}\frac{1}{x-a}\cdot\frac{\sin x\cdot\cos a-\cos x\cdot\sin a}{\cos x\cdot\cos a}\\
&=\lim_{x\rightarrow a}\frac{1}{x-a}\cdot\frac{\sin(x-a)}{\cos x\cdot\cos a}\\
&=\frac{1}{\cos^2 a}=\sec^2 a,
\end{split}
\]

因此, $(\tan x)'=\sec^2 x$.