问题及解答

证明下面的组合数公式:

(1) 

\[C_n^r=\frac{n}{r}C_{n-1}^{r-1}\quad\text{或}\quad\binom{n}{r}=\frac{n}{r}\binom{n-1}{r-1}\]

(2)

\[
C_n^r=\frac{n}{n-r}C_{n-1}^{r}\quad\text{或}\quad\binom{n}{r}=\frac{n}{n-r}\binom{n-1}{r}
\]

\[
C_n^r=\frac{n!}{r!\cdot(n-r)!}
\]

因此,

(1)

\[
\frac{n}{r}\cdot C_{n-1}^{r-1}=\frac{n}{r}\cdot\frac{(n-1)!}{(r-1)!\cdot(n-r)!}=\frac{n!}{r!\cdot(n-r)!}=C_n^r
\]

(2)

\[
\frac{n}{n-r}\cdot C_{n-1}^{r}=\frac{n}{n-r}\cdot\frac{(n-1)!}{r!\cdot(n-1-r)!}=\frac{n!}{r!\cdot(n-r)!}=C_n^r
\]