问题及解答

1.

$\lim\limits_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{x+y}{x-y}$

令 $y=kx$, $k\neq 1$, 则

\[
\lim\limits_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{x+y}{x-y}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{x+kx}{x-kx}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{1+k}{1-k}.
\]

显然, $\frac{1+k_1}{1-k_1}=\frac{1+k_2}{1-k_2}$ 当且仅当 $k_1=k_2$.

于是, 当 $(x,y)$ 沿着不同斜率的直线 $y=kx$ 趋于原点时, 所得的极限不相等. 因此, 原极限不存在.