问题及解答

解方程: $xy'+y=\frac{\ln x}{x}$.

根据方程, $x > 0$. 因此方程等价于

\[
y'+\frac{1}{x}y=\frac{\ln x}{x^2}.
\]

由一阶常微分方程 $y'+P(x)y=Q(x)$ 的求解公式

\[
y(x)=e^{-\int P(x)\mathrm{d}x}\biggl[\int Q(x)e^{\int P(x)\mathrm{d}x}\mathrm{d}x+C\biggr]
\]

得

\[
\begin{split}
y(x)&=e^{-\int\frac{1}{x}\mathrm{d}x}\biggl[\int\frac{\ln x}{x^2}e^{\int\frac{1}{x}\mathrm{d}x}\mathrm{d}x+C\biggr]\\
&=e^{-\ln x}\biggl[\int\frac{\ln x}{x^2}\cdot e^{\ln x}\mathrm{d}x+C\biggr]\\
&=\frac{1}{x}\biggl[\int\frac{\ln x}{x}\mathrm{d}x+C\biggr]\\
&=\frac{1}{x}\biggl[\int\ln x\mathrm{d}\ln x+C\biggr]\\
&=\frac{1}{x}\biggl[\frac{1}{2}(\ln x)^2+C\biggr].
\end{split}
\]