问题及解答

讨论函数 $y=ax+\frac{b}{x}$ 的性质.  这里 $ab\neq 0$.

(1)  $a > 0$, $b > 0$ 时.

定义域:  $D=\mathbb{R}^*=(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$.

函数为奇函数, 因为 $D$ 关于原点对称, 且 $y(-x)=-y(x)$.

值域: $(-\infty,-2\sqrt{ab}]\cup[2\sqrt{ab},+\infty)$.

不妨设 $x > 0$, 则

\[y=ax+\frac{b}{x}\geqslant 2\sqrt{ax\cdot\frac{b}{x}}=2\sqrt{ab},\]

等号成立当且仅当 $ax=\frac{b}{x}$, 即 $x=\sqrt{\frac{b}{a}}$.

$x=0$ 是 $y=ax+\frac{b}{x}$ 的竖直渐近线;  $y=ax$ 是其斜渐近线, 因为

\[
\lim_{x\rightarrow\infty}\bigl[ax+\frac{b}{x}-ax\bigr]=0.
\]

(2)  $a > 0$, $b < 0$ 时.

定义域:  $D=\mathbb{R}^*=(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$.

函数为奇函数, 因为 $D$ 关于原点对称, 且 $y(-x)=-y(x)$.

为方便讨论, 改记函数为 $y=ax-\frac{b}{x}$, 此处 $b > 0$.

于是 $y'=a+\frac{b}{x^2} > 0$. 故函数在 $(0,+\infty)$ 上严格单调递增. 并且

\[
\lim_{x\rightarrow 0^+}(ax-\frac{b}{x})=-\infty,\quad\lim_{x\rightarrow+\infty}(ax-\frac{b}{x})=+\infty.
\]

因此值域为 $\mathbb{R}$.

$x=0$ 是 $y=ax+\frac{b}{x}$ 的竖直渐近线;  $y=ax$ 是其斜渐近线, 因为

\[
\lim_{x\rightarrow\infty}\bigl[ax-\frac{b}{x}-ax\bigr]=0.
\]