问题及解答

证明多项式 $x^3-3x+c$ 在 $[0,1]$ 上不存在两个不同的实根.

证明:  记 $f(x)=x^3-3x+c$, 则 $f'(x)=3x^2-3$. 若令 $f'(x)=0$, 则 $x=\pm 1$.

假设 $f$ 在 $[0,1]$ 上有两个不同的实根 $0\leqslant x_1 < x_2 \leqslant 1$, 则由 Rolle 中值定理, 存在 $\xi\in(x_1,x_2)$, 使得 $f'(\xi)=0$. 而导函数 $f'$ 仅在 $\pm 1$ 处为零, 故假设不成立.