问题及解答

设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的两个实值函数, 满足

\[g(x+y)+g(x-y)=g(x)f(y),\tag{*}\]

且 $f(x)$ 关于点 $(2,0)$ 中心对称, 函数 $g$ 满足 $g(0)=g(2)=1$.

问下面哪些选项是正确的.

(A)    $f(x)$ 是偶函数;
(B)    $g(x)$ 是偶函数;
(C)    $g(-1-x)=-g(-1+x)$;
(D)    $g(1-x)=g(1+x)$.

在 (*) 式中令 $x=0$, 得 $g(y)+g(-y)=g(0)f(y)$, 而 $g(0)=1$, 故

\[f(x)=g(x)+g(-x),\]

故而 $f$ 是偶函数.

或者, 在 (*) 式中令 $y$ 为 $-y$, 则有

\[g(x-y)+g(x+y)=g(x)f(-y).\]

与 (*) 比较知 $g(x)f(y)=g(x)f(-y)$ 对任意 $x,y\in\mathbb{R}$ 成立. 除非 $g\equiv 0$,  可推出 $f(y)=f(-y)$.

$f$ 关于点 $(2,0)$ 中心对称, 因此 $f(x)=-f(4-x)$, $\forall\ x\in\mathbb{R}$. 特别地 $f(2)=0$.

假设 $g$ 为偶函数. 则 $f(x)=g(x)+g(-x)=2g(x)$. 令 $x=2$, 得

\[f(2)=2g(2)=2.\]

这与 $f(2)=0$ 矛盾. 

(*) 式中令 $y=0$, 得 $g(x+0)+g(x-0)=g(x)f(0)$, 推出 $2g(x)=g(x)f(0)$. 特别地, 取 $x=0$, 得 $2g(0)=g(0)f(0)$. 又 $g(0)=1$, 故 $f(0)=2$. 于是 $f(4)=-2$.

在 (*) 式中令 $x=-1$, $y$ 写为 $x$, 得

\[g(-1+x)+g(-1-x)=g(-1)f(x).\tag{*2}\]

我们证明 $g(-1)=0$, 从而 $g(-1+x)=-g(-1-x)$ 成立.

Claim 1.  $g(1)f(1)=2$.

Pf. 在 (*) 式中, 令 $y=x$, 得

\[
g(x+x)+g(x-x)=g(x)f(x).
\]

这推出 $g(2x)+g(0)=g(x)f(x)$. 特别地, 令 $x=1$, 得 $g(2)+g(0)=g(1)f(1)$. 即 $g(1)f(1)=1+1=2$. 因此 $f(1)\neq 0$.

Claim 2.  $g(-1)=0$.

Pf.  在 (*) 式中, 令 $x=0$, $y=2$, 得

\[
g(0+2)+g(0-2)=g(0)f(2).
\]

这推出 $g(2)+g(-2)=g(0)f(2)=0$, 故 $g(-2)=-g(2)=-1$.

在 (*2) 式中, 令 $x=1$ 得

\[
g(-1+1)+g(-1-1)=g(-1)f(1).
\]

这推出 $g(-1)f(1)=g(0)+g(-2)=1+(-1)=0$.  而由 Claim 1, $f(1)\neq 0$, 故 $g(-1)=0$.

Claim  3.  $f(1)=g(1)=\sqrt{2}$.

Pf.  $f(x)=g(x)+g(-x)$, 故 $f(1)=g(1)+g(-1)=g(1)+0=g(1)$. 再由 Claim 1, $g(1)f(1)=2$, 知结论成立.