问题及解答

设 $f$ 为多元函数, 证明: 如果 $u$, $v$ 为单位向量, 且 $u=-v$, 则 ${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial u}}=-{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial v}}$.

见[1] 习题12.1 

References:

[1] 梅加强  编著 《数学分析》.

Pf.  根据偏导数的定义, 对于单位向量 $u$, $f$ 在点 $p$ 沿 $u$ 方向的方向导数为

$$\frac{\partial f}{\partial u}(p)=\underset{t\to 0}{lim}\frac{f(p+tu)-f(p)}{t},$$

又 $u=-v$, 于是,

$$\frac{\partial f}{\partial u}(p)=\underset{t\to 0}{lim}\frac{f(p-tv)-f(p)}{t}=(-1)\cdot \underset{t\to 0}{lim}\frac{f(p+(-t)v)-f(p)}{-t}=-\frac{\partial f}{\partial v}(p).$$

因此,

$$\frac{\partial f}{\partial u}=-\frac{\partial f}{\partial v}.$$