问题及解答

两可微函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在某个开区间 $I$ 上线性相关的充要条件是它们的 Wronski 函数 $W[f,g](x)$ 对所有的 $x\in I$ 为零.

($\Rightarrow$) 设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在开区间 $I$ 上线性相关, 即存在不全为零的实数 $k_1,k_2$ 使得 $k_1 f(x)+k_2 g(x)=0$. 不妨假设 $k_1\neq 0$. 于是 $f(x)=\frac{k_2}{k_1}g(x)$, 记为 $f(x)=kg(x)$.\pause
\[
W[f,g](x)=f'(x)g(x)-f(x)g'(x)=kg'(x)g(x)-kg(x)g'(x)\equiv 0,
\]
这对任意 $x\in I$ 均成立.\pause

($\Leftarrow$)反之, 若 $f$ 和 $g$ 的 Wronski 函数 $W[f,g](x)=0$ 对所有的 $x\in I$ 成立.\pause 不妨假设 $g(x)\neq 0$, 则
\[
\biggl(\frac{f(x)}{g(x)}\biggr)'_x=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}\equiv 0,\quad\forall\ x\in I.
\]
这推出 $\frac{f(x)}{g(x)}\equiv c$, $c$ 是某个常数. 从而 $f$ 和 $g$ 线性相关.