问题及解答

求微分方程 $\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1+y^2}{xy+x^3y}$ 的通解.

\[
\begin{split}
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1+y^2}{xy+x^3y}\quad&\Rightarrow\quad\frac{y\mathrm{d}y}{1+y^2}=\frac{\mathrm{d}x}{x+x^3}\\
&\Rightarrow\quad\frac{\frac{1}{2}\mathrm{d}y^2}{1+y^2}=\frac{\mathrm{d}x}{x(x+x^2)}\\
&\Rightarrow\quad\frac{1}{2}\int\frac{1}{1+y^2}\mathrm{d}(1+y^2)=\int\bigl(\frac{1}{x}-\frac{x}{1+x^2}\bigr)\mathrm{d}x\\
&\Rightarrow\quad\frac{1}{2}\ln(1+y^2)=\ln|x|-\frac{1}{2}\int\frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}(1+x^2)\\
&\Rightarrow\quad\ln(1+y^2)=2\ln|x|-\ln(1+x^2)+C_1\\
&\Rightarrow\quad\ln(1+y^2)=\ln\frac{x^2}{1+x^2}+C_1\\
&\Rightarrow\quad 1+y^2=e^{C_1}\cdot\frac{x^2}{1+x^2}\\
&\Rightarrow\quad y^2=\frac{e^{C_1}x^2}{1+x^2}-1=\frac{(e^{C_1}-1)x^2-1}{1+x^2}\\
&\Rightarrow\quad y^2=\frac{Cx^2-1}{1+x^2}.
\end{split}
\]

当然, 在倒数第三个 $\Rightarrow$ 处可直接得到

\[
(1+y^2)(1+x^2)=Cx^2,
\]

这里 $C > 0$.