问题及解答

求微分方程

\[
x(\ln x-\ln y)\mathrm{d}y-y\mathrm{d}x=0
\]

的通解.

[分析] 令 $P(x,y)=-y$, $Q(x,y)=x(\ln x-\ln y)$, 则

\[
\begin{aligned}
\frac{\partial Q}{\partial x}&=1\cdot(\ln x-\ln y)+x\cdot\frac{1}{x}=\ln x-\ln y+1,\\
\frac{\partial P}{\partial y}&=-1.
\end{aligned}
\]

无法直接用积分去求函数 $u(x,y)$, 使得 $u$ 的全微分等于该微分方程的左侧.

尝试将方程变形. 原方程为

\[
\begin{split}
&x(\ln x-\ln y)\mathrm{d}y=y\mathrm{d}x\\
\Rightarrow\quad&\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{y}{x(\ln x-\ln y)}=\frac{1}{\frac{x}{y}\ln\frac{x}{y}}\\
\Rightarrow\quad&\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=\frac{x(\ln x-\ln y)}{y}=\frac{x}{y}\ln\frac{x}{y}.
\end{split}
\]

我们以第二个方程为例, 

\[
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=\frac{x}{y}\ln\frac{x}{y}.\tag{*}
\]

令 $u(y)=\frac{x(y)}{y}$, 则

\[
\begin{split}
&\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y}=\frac{x'_y\cdot y-x\cdot 1}{y^2}=\frac{1}{y}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}-\frac{x}{y^2}\\
\Rightarrow\quad&\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=y\Bigl(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y}+\frac{x}{y^2}\Bigr),
\end{split}
\]

将其代入 ($*$) 式, 得

\[
\begin{split}
&y\Bigl(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y}+\frac{x}{y^2}\Bigr)=u\ln u\\
\Rightarrow\quad&y\Bigl(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y}+\frac{u}{y}\Bigr)=u\ln u\\
\Rightarrow\quad&\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y}+\frac{u}{y}=\frac{u}{y}\ln u\\
\Rightarrow\quad&\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y}=\frac{u}{y}(\ln u-1)\\
\Rightarrow\quad&\frac{\mathrm{d}u}{u(\ln u-1)}=\frac{\mathrm{d}y}{y}\\
\Rightarrow\quad&\int\frac{\mathrm{d}u}{u(\ln u-1)}=\int\frac{\mathrm{d}y}{y}\\
\Rightarrow\quad&\int\frac{1}{\ln u-1}\mathrm{d}(\ln u-1)=\ln|y|+C_1\\
\Rightarrow\quad&\ln|\ln u-1|=\ln y+C_1\\
\Rightarrow\quad&|\ln u-1|=e^{C_1}y\\
\Rightarrow\quad&\ln u-1=Cy\\
\Rightarrow\quad&\ln\frac{x}{y}=Cy+1,
\end{split}
\]

这里$C\neq 0$, 且第四步($\Rightarrow$)需假设 $u\neq e$, 即 $x\neq ey$. 事实上容易验证 $x=ey$ 是原方程的解. 综上, 解可写为

\[
\ln x-\ln y=Cy+1,\quad C\ \text{是任意实数}.
\]