问题及解答

求下面微分方程的特解.

\[
y'\cos y+\sin y=x,\quad y(0)=\frac{\pi}{4}.
\]

原方程写为

\[
(\sin y)'_x+\sin y=x.
\]

令 $f(x)=\sin y(x)$, 则问题变为

\[
f'(x)+f(x)=x,\quad f(0)=\sin(y(0))=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}.
\]

对于一阶线性常微 $f'(x)+f(x)=x$, 由通解公式, 得

\[
\begin{split}
f(x)&=e^{-\int 1\mathrm{d}x}\biggl[\int xe^{\int 1\mathrm{d}x}\mathrm{d}x+C\biggr]\\
&=e^{-x}\biggl[\int xe^x\mathrm{d}x+C\biggr]\\
&=e^{-x}\biggl[\int x\mathrm{d}e^x+C\biggr]\\
&=e^{-x}\biggl[xe^{x}-\int e^x\mathrm{d}x+C\biggr]\\
&=e^{-x}\Bigl[xe^x-e^x+C\Bigr]\\
&=x-1+Ce^{-x},
\end{split}
\]

又 $f(0)=\frac{\sqrt{2}}{2}$, 代入得 $\frac{\sqrt{2}}{2}=0-1+C$, 即 $C=\frac{\sqrt{2}}{2}+1$. 因此所得特解为

\[
\sin y=x-1+(\frac{\sqrt{2}}{2}+1)e^{-x}.
\]