问题及解答

求微分方程 $(3x^2+2xy-y^2)\mathrm{d}x+(x^2-2xy)\mathrm{d}y=0$ 的通解.

令 $P(x,y)=3x^2+2xy-y^2$, $Q(x,y)=x^2-2xy$, 则

\[
\frac{\partial Q}{\partial x}=2x-2y=\frac{\partial P}{\partial y}.
\]

从而第二型曲线积分与路径选取无关, 令

\[
u(x,y)=\int_{(0,0)}^{(x,y)}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y,
\]

则 $u(x,y)$ 的全微分即 $P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y$.

这里 $(0,0)$ 到 $(x,y)$ 的路径选为 $L_1$: $(0,0)$ 到 $(x,0)$ 的有向线段, $L_2$: $(x,0)$ 到 $(x,y)$ 的有向直线段. 因此,

\[
\begin{split}
u(x,y)&=\int_{(0,0)}^{(x,y)}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y\\
&=\int_0^x P(x,0)\mathrm{d}x+\int_0^y Q(x,y)\mathrm{d}y\\
&=\int_0^x 3x^2\mathrm{d}x+\int_0^y(x^2-2xy)\mathrm{d}y\\
&=x^3+x^2y-xy^2\ .
\end{split}
\]

故方程的通解为

\[
x^3+x^2y-xy^2=C.
\]