问题及解答

如果 $f,g$ 在 $[a,b]$ 上可积, 则 $\max\{f,g\}$ 和 $\min\{f,g\}$ 在 $[a,b]$ 上均可积.

证明: $\max\{f,g\}$ 和 $\min\{f,g\}$ 可表示为

\[
\max\{f,g\}=\frac{|f-g|+f+g}{2},\quad\min\{f,g\}=\frac{f+g-|f-g|}{2}.
\]

由 $f$ 和 $g$ 在 $[a,b]$ 上均可积, 可推出 $f-g$ 在 $[a,b]$ 上可积, 从而 $|f-g|$ 在 $[a,b]$ 上也可积. 从而 $\max\{f,g\}$ 和 $\min\{f,g\}$ 在 $[a,b]$ 上也可积.