问题及解答

利用积分求下列极限.

\[
\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{1}{n}\biggl(\sin\frac{\pi}{n}+\sin\frac{2\pi}{n}+\cdots+\sin\frac{(n-1)\pi}{n}\biggr)
\]

\[
\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{1}{n}\biggl(\sin\frac{\pi}{n}+\sin\frac{2\pi}{n}+\cdots+\sin\frac{(n-1)\pi}{n}\biggr)=\lim_{n\rightarrow+\infty}\sum_{i=1}^{n}\sin\frac{(i-1)\pi}{n}\cdot\frac{1}{n},
\]

于是考虑函数 $f(x)=\sin(\pi x)$, $x\in[0,1]$. 上面的极限即是对 $[0,1]$ 作 $n$ 等分, 且取 $\xi_i=x_{i-1}=\frac{i-1}{n}$ 时, 函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上的积分的极限表示. 因此, 上面的极限等于

\[
\int_{0}^{1}\sin(\pi x)\mathrm{d}x=\Bigl[-\frac{1}{\pi}\cos(\pi x)\Bigr]\biggr|_{0}^{1}=-\frac{1}{\pi}\bigl[\cos\pi -\cos 0\bigr]=\frac{2}{\pi}.
\]